- Kaedah pembahagian sintetik
- Latihan yang diselesaikan
- - Contoh 1
- Penyelesaian
- - Contoh 2
- Penyelesaian
- - Contoh 3
- - Contoh 4
- Rujukan
The bahagian sintetik adalah cara yang mudah untuk membahagikan P polinomial (x) mana-mana salah satu bentuk yang d (x) = x - c. Contohnya, polinomial P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) dapat ditunjukkan sebagai pendaraban dua polinomial termudah (x + 1) dan (x 4 + 2x 3 ).
Ini adalah alat yang sangat berguna kerana, selain memungkinkan kita membahagi polinomial, ia juga membolehkan kita menilai suatu polinomial P (x) pada sebarang nombor c, yang seterusnya memberitahu kita dengan tepat jika nombor tersebut adalah sifar dari polinomial atau tidak.
Terima kasih kepada algoritma pembahagian, kita tahu bahawa jika kita mempunyai dua polinomial tidak tetap P (x) dan d (x), terdapat polinomial unik q (x) dan r (x) sehingga benar bahawa P (x) = q (x) d (x) + r (x), di mana r (x) adalah sifar atau kurang daripada q (x). Polinomial ini masing-masing dikenali sebagai quotient dan sisa atau sisa.
Dalam keadaan ketika d (x) polinomial adalah bentuk x- c, pembahagian sintetik memberi kita jalan singkat untuk mengetahui siapa q (x) dan r (x).
Kaedah pembahagian sintetik
Biarkan P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 polinomial yang ingin kita bahagikan dan d (x) = xc pembahagi. Untuk membahagikan dengan kaedah pembelahan sintetik, kami meneruskan seperti berikut:
1- Kami menulis pekali P (x) pada baris pertama. Sekiranya kuasa X tidak muncul, kita meletakkan sifar sebagai pekali.
2- Di baris kedua, di sebelah kiri n kita meletakkan c, dan kita melukis garis pembahagian seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut:
3- Kami menurunkan pekali utama ke baris ketiga.
Dalam ungkapan ini b n-1 = a n
4- Kita mengalikan c dengan pekali utama b n-1 dan kita menuliskan hasilnya di baris kedua, tetapi satu lajur di sebelah kanan.
5- Kami menambah lajur di mana kami menulis hasil sebelumnya dan kami meletakkan hasilnya di bawah jumlah itu; iaitu pada lajur yang sama, baris ketiga.
Semasa menambah, kita mempunyai hasil n-1 + c * b n-1 , yang untuk kemudahan kita akan memanggil b n-2
6- Kami mengalikan c dengan hasil sebelumnya dan menuliskan hasilnya di sebelah kanannya di baris kedua.
7- Kami mengulangi langkah 5 dan 6 sehingga kita mencapai pekali pada 0 .
8- Kami menulis jawapannya; iaitu, bagi hasil dan selebihnya. Oleh kerana kita membahagi satu polinomial darjah n dengan satu polinomial darjah 1, kita mempunyai hasil bagi darjah n-1.
Pekali polinomial bagi nombor adalah nombor di baris ketiga kecuali yang terakhir, yang akan menjadi baki polinomial atau baki bahagian.
Latihan yang diselesaikan
- Contoh 1
Lakukan pembahagian berikut dengan kaedah pembahagian sintetik:
(x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Penyelesaian
Kami mula-mula menulis pekali dividen seperti berikut:
Kemudian kami menulis c di sebelah kiri, di baris kedua, bersama dengan garis pemisah. Dalam contoh ini c = -1.
Kami menurunkan pekali utama (dalam kes ini b n-1 = 1) dan mengalikannya dengan -1:
Kami menuliskan hasilnya di sebelah kanan pada baris kedua, seperti gambar di bawah:
Kami menambah nombor di lajur kedua:
Kami mengalikan 2 dengan -1 dan menulis hasilnya di lajur ketiga, baris kedua:
Kami menambah pada lajur ketiga:
Kami meneruskan dengan cara yang sama sehingga kami sampai di ruangan terakhir:
Oleh itu, kita mempunyai bahawa nombor terakhir yang diperoleh adalah bahagian pembahagian yang selebihnya, dan nombor yang selebihnya adalah pekali polinomial bagi. Ini ditulis seperti berikut:
Sekiranya kita ingin mengesahkan bahawa hasilnya betul, sudah cukup untuk mengesahkan bahawa persamaan berikut adalah benar:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Oleh itu, kita dapat memastikan bahawa hasil yang diperoleh adalah betul.
- Contoh 2
Lakukan pembahagian polinomial berikut dengan kaedah pembahagian sintetik
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
Penyelesaian
Dalam kes ini kita mempunyai istilah x 2 tidak muncul, jadi kita akan menulis 0 sebagai pekali. Oleh itu, polinomial ialah 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
Kami menuliskan pekali mereka berturut-turut, ini adalah:
Kami menulis nilai C = -2 di sebelah kiri baris kedua dan melukis garis pembahagian.
Kami menurunkan pekali utama b n-1 = 7 dan mengalikannya dengan -2, menuliskan hasilnya di baris kedua di sebelah kanan.
Kami menambah dan meneruskan seperti yang dijelaskan sebelumnya, sehingga kami mencapai istilah terakhir:
Dalam kes ini, selebihnya adalah r (x) = - 52 dan hasil yang diperoleh adalah q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Contoh 3
Kaedah lain untuk menggunakan pembahagian sintetik adalah yang berikut: andaikan kita mempunyai polinomial P (x) darjah n dan kita ingin mengetahui apa nilainya dengan menilai pada x = c.
Dengan algoritma pembahagian kita dapat menulis polinomial P (x) dengan cara berikut:
Dalam ungkapan ini q (x) dan r (x) masing-masing adalah bagi hasil dan selebihnya. Sekarang, jika d (x) = x- c, ketika menilai pada c di polinomial kita mendapat yang berikut:
Oleh itu, hanya tinggal mencari ar (x), dan kita dapat melakukan ini berkat pembahagian sintetik.
Contohnya, kita mempunyai polinomial P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 dan kami ingin mengetahui nilainya dengan menilai pada x = 5. Untuk melakukan ini, kami melakukan pembahagian antara P (x) dan d (x) = x -5 dengan kaedah pembahagian sintetik:
Setelah operasi selesai, kita tahu bahawa kita dapat menulis P (x) dengan cara berikut:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
Oleh itu, semasa menilai itu kita harus:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Seperti yang dapat kita lihat, adalah mungkin untuk menggunakan pembahagian sintetik untuk mencari nilai polinomial dengan menilai pada c dan bukan hanya menggantikan c untuk x.
Sekiranya kita cuba menilai P (5) dengan cara tradisional, kita akan terpaksa melakukan beberapa pengiraan yang sering menjadi membosankan.
- Contoh 4
Algoritma pembahagian untuk polinomial juga berlaku untuk polinomial dengan pekali kompleks dan, sebagai akibatnya, kita mempunyai kaedah pembahagian sintetik juga berfungsi untuk polinomial tersebut. Kami akan melihat contoh di bawah.
Kami akan menggunakan kaedah pembahagian sintetik untuk menunjukkan bahawa z = 1+ 2i adalah sifar dari polinomial P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); iaitu, selebihnya pembahagian P (x) dengan d (x) = x - z sama dengan sifar.
Kami meneruskan seperti sebelumnya: di baris pertama kita menulis pekali P (x), kemudian pada baris kedua kita menulis z dan melukis garis pembahagian.
Kami menjalankan pembahagian seperti sebelumnya; ini adalah:
Kita dapat melihat bahawa bakinya adalah sifar; oleh itu kami menyimpulkan bahawa z = 1+ 2i adalah sifar P (x).
Rujukan
- Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
- Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafik, Numerik, Algebra Edisi ke-7 Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. Algebra dan Trigonometri dengan Analisis Geometri. Balai Prentice
- Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Pendidikan Pearson.
- Merah. Armando O. Algebra 1 Edisi ke-6. The Athenaeum.