PEMFAKTORAN: KAEDAH DAN CONTOH - MATEMATIK - 2026

The pemfaktoran adalah satu kaedah yang mana polinomial yang dinyatakan sebagai pendaraban faktor, yang mungkin nombor atau huruf atau kedua-duanya. Untuk faktor, faktor-faktor yang umum untuk istilah dikumpulkan bersama, dan dengan cara ini polinomial diuraikan menjadi beberapa polinomial.

Oleh itu, apabila faktornya digandakan bersama, hasilnya adalah polinomial yang asal. Pemfaktoran adalah kaedah yang sangat berguna apabila anda mempunyai ungkapan algebra, kerana ia dapat ditukar menjadi penggandaan beberapa istilah mudah; contohnya: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Terdapat kes di mana polinomial tidak boleh difaktorkan kerana tidak ada faktor yang sama antara istilahnya; oleh itu, ungkapan algebra ini hanya dapat dibahagi oleh mereka sendiri dan oleh 1. Contohnya: x + y + z.

Dalam ungkapan algebra, faktor umum adalah pembahagi umum yang paling besar dari istilah yang menyusunnya.

Kaedah pemfaktoran

Terdapat beberapa kaedah pemfaktoran, yang diterapkan bergantung pada kasusnya. Sebilangannya adalah seperti berikut:

Pemfaktoran mengikut faktor sepunya

Dalam kaedah ini faktor-faktor yang biasa dikenal pasti; iaitu, yang diulang dari segi ungkapan. Kemudian harta pengagihan digunakan, pembahagi umum yang paling besar diambil, dan pemfaktoran selesai.

Dengan kata lain, faktor umum ungkapan dikenal pasti dan setiap istilah dibahagi dengannya; Istilah yang dihasilkan akan digandakan oleh pembahagi umum yang paling besar untuk menyatakan pemfaktoran.

Contoh 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Penyelesaian

Pertama, faktor umum bagi setiap istilah dijumpai, yang dalam kes ini adalah b ² , dan kemudian istilah dibahagikan dengan faktor sepunya seperti berikut:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorisasi dinyatakan, menggandakan faktor sepunya dengan istilah yang dihasilkan:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Contoh 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita mempunyai dua faktor yang diulang dalam setiap istilah yaitu "a" dan "b", dan yang dinaikkan menjadi kekuatan. Untuk memperhitungkannya, kedua istilah tersebut pertama kali diuraikan dalam bentuk panjangnya:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Ini dapat dilihat bahawa faktor "a" diulang hanya sekali pada penggal kedua, dan faktor "b" diulang dua kali dalam hal ini; jadi pada penggal pertama hanya tinggal 2, faktor "a" dan faktor "b"; sementara pada penggal kedua hanya tinggal 3.

Oleh itu, masa "a" dan "b" diulang ditulis dan dikalikan dengan faktor-faktor yang tersisa dari setiap istilah, seperti yang ditunjukkan dalam gambar:

Pemfaktoran kumpulan

Oleh kerana tidak dalam semua keadaan pembahagi umum yang paling besar dari polinomial dinyatakan dengan jelas, perlu dilakukan langkah-langkah lain untuk dapat menulis semula polinomial dan dengan demikian faktor.

Salah satu langkahnya adalah mengelompokkan istilah polinomial menjadi beberapa kumpulan, dan kemudian menggunakan kaedah faktor sepunya.

Contoh 1

Faktor ac + bc + iklan + bd.

Penyelesaian

Terdapat 4 faktor di mana dua perkara biasa: dalam istilah pertama ia adalah «c» dan yang kedua adalah «d». Dengan cara ini kedua-dua istilah dikelompokkan dan dipisahkan:

(ac + bc) + (iklan + bd).

Sekarang mungkin untuk menerapkan kaedah faktor sepunya, membagi setiap istilah dengan faktor sepunya dan kemudian mengalikan faktor sepunya dengan istilah yang dihasilkan, seperti ini:

(ac + bc) / c = a + b

(iklan + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Sekarang kita mendapat binomial yang biasa untuk kedua-dua istilah. Untuk memfaktorkannya, ia didarabkan dengan faktor yang tinggal; dengan cara itu anda harus:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Pemfaktoran pemeriksaan

Kaedah ini digunakan untuk memfaktorkan polinomial kuadratik, juga disebut trinomial; iaitu, yang disusun sebagai ax ² ± bx + c, di mana nilai "a" berbeza dari 1. Kaedah ini juga digunakan ketika trinomial memiliki bentuk x ² ± bx + c dan nilai "a" = 1.

Contoh 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Penyelesaian

Kami mempunyai trinomial kuadratik bentuk x ² ± bx + c. Untuk memfaktorkannya, anda mesti terlebih dahulu mencari dua nombor yang, apabila didarabkan, memberikan hasilnya nilai «c» (iaitu, 6) dan jumlahnya sama dengan pekali «b», iaitu 5. Angka-angka tersebut adalah 2 dan 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dengan cara ini, ungkapan dipermudah seperti ini:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Setiap istilah difaktorkan:

- Untuk (x ² + 2x) istilah umum diambil: x (x + 2)

- Untuk (3x + 6) = 3 (x + 2)

Oleh itu, ungkapannya adalah:

x (x +2) + 3 (x +2).

Oleh kerana kita mempunyai persamaan binomial, untuk mengurangkan ungkapan, kita mengalikannya dengan istilah yang tinggal dan kita harus:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Contoh 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Penyelesaian

Kami mempunyai trinomial kuadratik bentuk kapak ² ± bx + cy untuk memfaktorkannya, darabkan keseluruhan ungkapan dengan pekali x ² ; dalam kes ini, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Sekarang kita mesti mencari dua nombor yang, apabila dikalikan satu sama lain, memberikan hasilnya nilai "c" (yang 36) dan yang apabila ditambahkan bersama memberikan hasilnya koefisien istilah "a", yaitu 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Dengan cara ini ungkapan ditulis semula, dengan mengambil kira bahawa 4 ² a ² = 4a _* 4a. Oleh itu, harta pengagihan berlaku untuk setiap istilah:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Akhirnya, ungkapan dibahagi dengan pekali ² ; iaitu, 4:

(4th + 6) _* (4th + 6) / 4 = ((4th + 6) / 2) _* ((4th + 6) / 2).

Ungkapannya adalah seperti berikut:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Pemfaktoran dengan produk terkenal

Terdapat kes di mana, untuk memfaktorkan sepenuhnya polinomial dengan kaedah di atas, ia menjadi proses yang sangat panjang.

Itulah sebabnya ungkapan dapat dikembangkan dengan formula produk yang luar biasa dan prosesnya menjadi lebih mudah. Antara produk terkenal yang paling banyak digunakan adalah:

- Perbezaan dua petak: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Kuadrat sempurna bagi jumlah: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Kuadrat perbezaan yang sempurna: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Perbezaan dua kubus: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Jumlah dua kubus: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Contoh 1

Faktor (5 ² - x ² )

Penyelesaian

Dalam kes ini terdapat perbezaan dua kotak; oleh itu formula produk yang luar biasa berlaku:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Contoh 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Penyelesaian

Dalam kes ini, anda mempunyai kuadrat sempurna untuk jumlah, kerana anda dapat mengenal pasti dua istilah kuasa dua, dan istilah yang tinggal adalah hasil darab dua dengan punca kuasa dua istilah pertama, dengan punca kuasa dua istilah.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Untuk memfaktorkan hanya punca kuasa dua istilah pertama dan ketiga dikira:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Kemudian dua istilah yang dihasilkan dinyatakan dipisahkan oleh tanda operasi, dan seluruh polinomial kuasa dua:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Contoh 3

Faktor 27a ³ - b ³

Penyelesaian

Ungkapan mewakili penolakan di mana dua faktor dibentuk. Untuk memperhitungkannya, formula untuk produk perbezaan perbezaan kiub digunakan, iaitu:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Oleh itu, bagi faktor, akar kubus bagi setiap istilah binomial diambil dan didarabkan dengan segiempat istilah pertama, ditambah produk yang pertama dengan istilah kedua, ditambah dengan istilah kedua kuadrat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Pemfaktoran dengan peraturan Ruffini

Kaedah ini digunakan apabila anda mempunyai polinomial darjah lebih besar daripada dua, untuk mempermudah ekspresi kepada beberapa polinomial darjah yang lebih rendah.

Contoh 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Penyelesaian

Mula-mula kita mencari nombor yang menjadi pembahagi 12, yang merupakan istilah bebas; Ini adalah ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, dan ± 12.

Kemudian x digantikan oleh nilai-nilai ini, dari yang paling rendah hingga yang paling tinggi, dan dengan demikian ditentukan dengan nilai mana pembahagiannya akan tepat; iaitu selebihnya mestilah 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Dan seterusnya untuk setiap pembahagi. Dalam kes ini, faktor yang dijumpai adalah untuk x = -1 dan x = 2.

Sekarang kaedah Ruffini diterapkan, yang mana pekali ungkapan akan dibahagi dengan faktor-faktor yang dijumpai sehingga pembahagiannya tepat. Istilah polinomial disusun dari eksponen tertinggi hingga terendah; sekiranya istilah dengan darjah seterusnya hilang mengikut urutan, 0 diletakkan di tempatnya.

Pekali terletak dalam skema seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Pekali pertama diturunkan dan didarabkan oleh pembahagi. Dalam kes ini, pembahagi pertama adalah -1, dan hasilnya diletakkan di lajur seterusnya. Kemudian nilai pekali dengan hasil yang diperoleh ditambahkan secara menegak dan hasilnya diletakkan di bawah. Dengan cara ini proses diulang hingga lajur terakhir.

Kemudian prosedur yang sama diulang lagi, tetapi dengan pembahagi kedua (yang 2) kerana ungkapan masih dapat dipermudahkan.

Oleh itu, untuk setiap akar yang diperoleh, polinomial akan mempunyai istilah (x - a), di mana "a" adalah nilai akar:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Sebaliknya, istilah ini mesti dikalikan dengan baki peraturan Ruffini 1: 1 dan -6, yang merupakan faktor yang mewakili darjah. Dengan cara ini ungkapan yang terbentuk adalah: (x ² + x - 6).

Mendapatkan hasil pemfaktoran polinomial dengan kaedah Ruffini adalah:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Akhirnya, polinomial darjah 2 yang muncul dalam ungkapan sebelumnya dapat ditulis semula sebagai (x + 3) (x-2). Oleh itu, pemfaktoran terakhir adalah:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Rujukan

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
2. J, V. (2014). Cara Mengajar Anak-anak Mengenai Memfaktorkan Polinomial
3. Manuel Morillo, AS (sf). Matematik Asas Dengan Aplikasi.
4. Roelse, PL (1997). Kaedah linier untuk faktorisasi polinomial berbanding bidang terhingga: teori dan pelaksanaan. Universiti Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Cincin dan Pemfaktoran.