NOMBOR TIDAK RASIONAL: SEJARAH, SIFAT, KLASIFIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2025

Yang nombor tak nisbah adalah orang-orang yang bersuara mempunyai angka perpuluhan tak terhingga tanpa corak yang berulang, oleh itu, tidak boleh dapat diperolehi dari nisbah antara mana-mana dua integer.

Antara nombor tidak rasional yang terkenal adalah:

Gambar 1. Dari atas ke bawah nombor tidak rasional berikut: pi, nombor Euler, nisbah emas dan dua punca kuasa dua. Sumber: Pixabay.

Antaranya, tanpa keraguan π (pi) adalah yang paling biasa, tetapi ada banyak lagi. Kesemuanya tergolong dalam kumpulan nombor nyata, yang merupakan himpunan angka yang mengumpulkan nombor rasional dan tidak rasional.

Elipsis pada gambar 1 menunjukkan bahawa perpuluhan berlanjutan selama-lamanya, apa yang berlaku adalah bahawa ruang kalkulator biasa hanya membenarkan beberapa ditampilkan.

Sekiranya kita melihat dengan teliti, setiap kali kita membuat hasil bagi dua nombor bulat, kita mendapat perpuluhan dengan angka terhad atau jika tidak, dengan angka tak terbatas di mana satu atau lebih diulang. Ini tidak berlaku dengan nombor tidak rasional.

Sejarah nombor tidak rasional

Ahli matematik kuno Pythagoras, yang lahir pada tahun 582 SM di Samos, Yunani, mendirikan sekolah pemikiran Pythagoras dan menemui teorema terkenal yang mempunyai namanya. Kita ada di sini di sebelah kiri (orang Babilon mungkin sudah lama mengenalinya).

Rajah 2. Teorema Pythagoras diterapkan pada segitiga dengan sisi sama dengan 1. Sumber: Pixabay / Wikimedia Commons.

Nah, ketika Pythagoras (atau mungkin muridnya) menerapkan teorema pada segitiga kanan dengan sisi sama dengan 1, dia menemui nombor tidak rasional √2.

Dia melakukannya dengan cara ini:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Dan dia segera menyedari bahawa nombor baru ini bukan berasal dari hasil antara dua nombor semula jadi yang lain yang diketahui pada masa itu.

Oleh itu, dia menyebutnya tidak rasional, dan penemuan itu menimbulkan kegelisahan dan kebingungan di kalangan orang Pythagoras.

Sifat nombor tidak rasional

-The set semua nombor tak nisbah ditandakan dengan huruf I dan kadang-kadang sebagai Q * atau Q ^C . Penyatuan antara nombor tidak rasional I atau Q * dan nombor rasional Q, menimbulkan set nombor nyata R.

-Dengan nombor tidak rasional, operasi aritmetik yang diketahui dapat dilakukan: penambahan, pengurangan, pendaraban, pembahagian, pemberdayaan dan banyak lagi.

-Pembahagian dengan 0 tidak ditakrifkan antara nombor tidak rasional.

-Jumlah dan produk antara nombor tidak rasional tidak semestinya nombor tidak rasional yang lain. Sebagai contoh:

√2 x √8 = √16 = 4

Dan 4 bukan nombor tidak rasional.

-Namun, jumlah nombor rasional ditambah nombor tidak rasional memberikan hasil yang tidak rasional. Dengan cara ini:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Produk nombor rasional yang berbeza dari 0 dengan nombor tidak rasional juga tidak rasional. Mari lihat contoh ini:

2 x √2 = 2.828427125…

-Berbalik hasil tidak rasional menghasilkan nombor tidak rasional yang lain. Mari cuba:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

Nombor-nombor ini menarik kerana ia juga merupakan nilai beberapa nisbah trigonometri sudut yang diketahui. Sebilangan besar nisbah trigonometri adalah nombor tidak rasional, tetapi ada pengecualian, seperti sin 30º = 0,5 = ½, yang rasional.

-Jumlah itu, sifat komutatif dan asosiatif dipenuhi. Sekiranya a dan b adalah dua nombor tidak rasional, ini bermaksud:

a + b = b + a.

Dan jika c adalah nombor tidak rasional yang lain, maka:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Pemilikan pendaraban pendaraban berkaitan dengan penambahan adalah harta terkenal lain yang juga berlaku untuk nombor tidak rasional. Dalam kes ini:

a. (b + c) = ab + ac

-A tidak rasional mempunyai kebalikannya: -a. Apabila mereka ditambahkan bersama hasilnya adalah 0:

a + (- a) = 0

-Di antara dua rasional yang berbeza, terdapat sekurang-kurangnya satu nombor tidak rasional.

Lokasi nombor tidak rasional pada garis sebenar

Garis nyata adalah garis mendatar di mana nombor nyata berada, di mana nombor tidak rasional adalah bahagian penting.

Untuk mencari nombor tidak rasional pada garis sebenar, dalam bentuk geometri, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras, pembaris dan kompas.

Sebagai contoh kita akan mencari √5 pada garis sebenar, yang mana kita melukis segitiga tepat dengan sisi x = 2 dan y = 1, seperti yang ditunjukkan dalam gambar:

Rajah 3. Kaedah untuk mencari nombor tidak rasional pada garis sebenar. Sumber: F. Zapata.

Dengan teorema Pythagoras, hipotenus segitiga seperti itu:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Sekarang kompas diletakkan dengan titik di 0, di mana salah satu bucu segitiga kanan juga. Titik pensil kompas hendaklah berada di bucu A.

Lengkok lilitan dilukis yang memotong ke garis sebenar. Oleh kerana jarak antara pusat lilitan dan titik di atasnya adalah jejari, yang sama dengan √5, titik persimpangan juga jauh √5 dari pusat.

Dari grafik dapat dilihat bahawa √5 adalah antara 2 dan 2.5. Kalkulator memberi kita nilai anggaran:

√5 = 2.236068

Oleh itu, dengan membina segitiga dengan sisi yang sesuai, yang lain yang tidak rasional dapat ditemukan, seperti √7 dan lain-lain.

Pengelasan nombor tidak rasional

Nombor tidak rasional dikelaskan kepada dua kumpulan:

-Algebra

-Transendental atau transendental

Nombor algebra

Nombor algebra, yang mungkin atau tidak rasional, adalah penyelesaian persamaan polinomial yang bentuk amnya adalah:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Contoh persamaan polinomial adalah persamaan kuadratik seperti ini:

x ³ - 2x = 0

Sangat mudah untuk menunjukkan bahawa nombor tidak rasional √2 adalah salah satu penyelesaian persamaan ini.

Nombor transenden

Sebaliknya, nombor transenden, walaupun tidak rasional, tidak pernah muncul sebagai penyelesaian kepada persamaan polinomial.

Nombor transenden yang paling kerap dijumpai dalam matematik terpakai adalah π, kerana hubungannya dengan lilitan dan nombor e, atau nombor Euler, yang merupakan asas logaritma semula jadi.

Senaman

Kotak berwarna abu-abu diletakkan di atas kotak hitam pada kedudukan yang ditunjukkan dalam gambar. Luas dataran hitam diketahui seluas 64 cm ² . Berapa panjang kedua-dua kotak itu?

Gambar 4. Dua kotak, yang mana kita ingin mencari panjang sisi. Sumber: F. Zapata.

Balas

Luas persegi dengan sisi L adalah:

A = L ²

Oleh kerana segiempat sama berukuran 64 cm ² , sisinya mestilah 8 cm.

Pengukuran ini sama dengan pepenjuru dari segi empat sama kelabu. Menerapkan teorema Pythagoras pada pepenjuru ini, dan mengingat bahawa sisi segi empat sama, kita akan mempunyai:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Di mana L _g adalah sisi segi empat sama kelabu.

Oleh itu: 2L _g ² = 8 ²

Menerapkan akar kuadrat ke kedua sisi persamaan:

L _g = (8 / √2) cm

Rujukan

1. Carena, M. 2019. Manual Matematik Pra-Universiti. Universiti Kebangsaan Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematik ke-9. Ijazah. Edisi CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
4. Portal Pendidikan. Nombor tidak rasional dan sifatnya. Dipulihkan dari: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Nombor tidak rasional. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.