SEGITIGA: SEJARAH, UNSUR, KLASIFIKASI, SIFAT - SAINS - 2025

The segi tiga yang rata dan ditutup angka geometri, yang terdiri daripada tiga pihak. Segitiga ditentukan oleh tiga garis yang bersilang dua dengan dua, membentuk tiga sudut antara satu sama lain. Bentuk segitiga, penuh dengan simbolisme, terdapat dalam objek yang tidak terhitung jumlahnya dan sebagai elemen pembinaan.

Asal segitiga itu hilang dalam sejarah. Dari bukti arkeologi diketahui bahawa manusia primitif mengenalinya dengan baik, kerana peninggalan arkeologi mengesahkan bahawa ia digunakan dalam alat dan senjata.

Gambar 1. Segitiga. Sumber: Gambar Domain Awam.

Juga terbukti bahawa orang-orang Mesir kuno memiliki pengetahuan yang kuat mengenai geometri dan khususnya bentuk segitiga. Mereka tercermin dalam unsur-unsur seni bina bangunan monumentalnya.

Dalam papirus Rhind, anda akan menemui formula untuk mengira luas segitiga dan trapezoid, serta beberapa jilid dan konsep lain tentang trigonometri asas.

Bagi mereka, diketahui bahawa orang Babilon dapat menghitung luas segitiga dan angka geometri lain, yang mereka gunakan untuk tujuan praktikal, seperti pembahagian tanah. Mereka juga berpengetahuan tentang banyak sifat segitiga.

Namun, orang Yunani kuno yang sistematiskan banyak konsep geometri yang ada sekarang, walaupun banyak pengetahuan ini tidak eksklusif, kerana ia pasti dikongsi dengan peradaban kuno yang lain.

Unsur segitiga

Unsur segitiga ditunjukkan dalam rajah berikut. Terdapat tiga: bucu, sisi dan sudut.

Rajah 2. Notasi segitiga dan unsurnya. Sumber: Wikimedia Commons, diubah suai oleh F. Zapata

-Vertices : adalah titik-titik persilangan garis yang segmennya menentukan segitiga. Dalam rajah di atas, misalnya, garis L _AC yang mengandungi segmen AC memotong garis L _AB yang mengandungi segmen AB tepat pada titik A.

- Sisi : antara setiap pasangan bucu segmen garis dilukis yang membentuk satu sisi segitiga. Segmen ini dapat dilambangkan dengan huruf akhir atau dengan menggunakan huruf tertentu untuk menyebutnya. Dalam contoh gambar 2, sisi AB juga disebut "c".

- Sudut : Di antara setiap sisi dengan bucu umum sudut berasal, yang bucunya bertepatan dengan sudut segitiga. Umumnya sudut dilambangkan dengan huruf Yunani, seperti yang dinyatakan pada awalnya.

Untuk membina segitiga tertentu, dengan bentuk dan ukuran tertentu, cukup gunakan salah satu set data berikut:

-Ketiga sisi, cukup jelas dalam hal segitiga.

-Dua sisi dan sudut di antara mereka, dan segera bahagian yang tersisa dilukis.

-Dua sudut (dalaman) dan sisi di antara mereka. Dengan lanjutan kedua sisi yang hilang dilukis dan segitiga siap.

Notasi

Secara umum, dalam notasi segitiga konvensi berikut digunakan: simpul ditunjukkan dengan huruf Latin huruf besar, sisi dengan huruf Latin huruf kecil, dan sudut dengan huruf Yunani (lihat gambar 2).

Dengan cara ini segitiga dinamakan mengikut bucunya. Sebagai contoh, segitiga di sebelah kiri dalam gambar 2 adalah segitiga ABC, dan yang di sebelah kanan adalah segitiga A'B'C '.

Anda juga boleh menggunakan notasi lain; sebagai contoh, sudut α dalam Rajah 2 dilambangkan sebagai BAC. Perhatikan bahawa huruf bucu berada di tengah dan huruf ditulis dalam arah lawan jam.

Lain kali karet digunakan untuk menunjukkan sudut:

α = ∠A

Jenis segitiga

Terdapat beberapa kriteria untuk mengelaskan segitiga. Perkara yang paling biasa adalah mengklasifikasikannya mengikut ukuran sisi mereka atau mengikut ukuran sudut mereka. Bergantung pada ukuran sisi mereka, segitiga boleh menjadi: scalenes, isosceles atau equilateral:

-Scaleno : ketiga-tiga sisinya berbeza.

-Isósceles : ia mempunyai dua sisi yang sama dan satu sisi yang berbeza.

-Equilátero : tiga sisi sama.

Rajah 3. Pengelasan segitiga di sisinya. Sumber: F. Zapata

Menurut ukuran sudut mereka, segitiga dinamakan seperti ini:

- Halangan , jika salah satu sudut dalaman lebih besar dari 90º.

- Sudut akut , apabila ketiga sudut dalaman segitiga itu akut, iaitu kurang dari 90º

- Segi empat tepat , sekiranya salah satu sudut dalamannya bernilai 90º. Sisi yang membentuk 90º disebut kaki dan sisi yang bertentangan dengan sudut kanan adalah hipotenus.

Rajah 4. Pengelasan segitiga mengikut sudut dalamannya. Sumber: F. Zapata.

Kesesuaian segitiga

Apabila dua segitiga mempunyai bentuk yang sama dan ukuran yang sama, mereka dikatakan serasi. Sudah tentu kesesuaian berkaitan dengan persamaan, jadi mengapa dalam geometri kita berbicara tentang "dua segitiga kongruen" dan bukan "dua segitiga sama"?

Baiklah, lebih disukai menggunakan istilah "kesesuaian" untuk berpegang pada kebenaran, kerana dua segitiga dapat memiliki bentuk dan ukuran yang sama, tetapi berorientasi secara berbeda di dalam pesawat (lihat gambar 3). Dari sudut pandang geometri, keduanya tidak lagi sama.

Gambar 5. Segitiga kongruen, tetapi tidak semestinya sama, kerana orientasi mereka dalam satah berbeza. Sumber: F. Zapata.

Kriteria kongruen

Dua segitiga bersesuaian jika berlaku perkara berikut:

-Ketiga sisi mengukur sama (sekali lagi ini adalah yang paling jelas).

-Mereka mempunyai dua sisi yang sama dan dengan sudut yang sama di antara mereka.

Kedua-duanya mempunyai dua sudut dalaman yang sama dan sisi antara sudut ini sama.

Seperti yang dapat dilihat, ini adalah mengenai dua segitiga yang memenuhi syarat yang diperlukan sehingga ketika mereka dibina, bentuk dan ukurannya sama persis.

Kriteria kesesuaian sangat berguna, kerana dalam praktiknya, kepingan dan bahagian mekanik yang tidak terhitung jumlahnya mesti dibuat secara bersiri, sedemikian rupa sehingga ukuran dan bentuknya sama persis.

Kesamaan segi tiga

Segitiga serupa dengan yang lain jika bentuknya sama, walaupun ukurannya berbeza. Untuk memastikan bentuknya sama, diperlukan sudut dalaman mempunyai nilai yang sama dan sisinya berkadar.

Rajah 6. Dua segitiga serupa: ukurannya berbeza tetapi perkadarannya sama. Sumber: F. Zapata.

Segitiga dalam gambar 2 juga serupa, seperti pada gambar 6. Dengan cara ini:

Bagi sisi, nisbah kesamaan berikut berlaku:

Hartanah

Sifat asas segitiga adalah seperti berikut:

-Jumlah sudut dalaman segitiga selalu 180º.

-Untuk segitiga apa pun, jumlah sudut luarannya sama dengan 360 °.

- Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalaman yang tidak berdekatan dengan sudut tersebut.

Teorema

Teorema Pertama Thales

Mereka dikaitkan dengan ahli falsafah Yunani dan ahli matematik Thales of Miletus, yang mengembangkan beberapa teorema yang berkaitan dengan geometri. Yang pertama menyatakan perkara berikut:

Rajah 7. Teorema Thales. Sumber: F. Zapata.

Dalam kata lain:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Teorema pertama Thales berlaku untuk segitiga, contohnya kita mempunyai segitiga biru ABC di sebelah kiri, yang dipotong oleh persamaan merah di sebelah kanan:

Rajah 8. Teorema Thales dan segitiga serupa.

Segitiga ungu AB'C 'serupa dengan segitiga biru ABC, oleh itu, menurut teorema Thales, yang berikut dapat ditulis:

AB´ / AC´ = AB / AC

Dan itu sesuai dengan apa yang dijelaskan sebelumnya dalam segmen persamaan segitiga. By the way, garis selari juga boleh menegak atau selari dengan hipotenus dan segitiga serupa diperoleh dengan cara yang sama.

Teorema kedua Thales

Teorema ini juga merujuk kepada segitiga dan bulatan dengan pusat O, seperti yang ditunjukkan di bawah. Dalam rajah ini, AC adalah diameter lilitan dan B adalah titik di atasnya, B berbeza dari A dan B.

Teorema kedua Thales menyatakan bahawa:

Rajah 9. Teorema kedua Thales. Sumber: Wikimedia Commons. Muat turun induktiviti.

Teorema Pythagoras

Ini adalah salah satu teorema paling terkenal dalam sejarah. Ini disebabkan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras of Samos (569 - 475 SM) dan berlaku pada segitiga kanan. Berkata demikian:

Sekiranya kita mengambil contoh segitiga biru pada gambar 8, atau segitiga ungu, kerana kedua-duanya adalah segi empat tepat, maka dapat dinyatakan bahawa:

AC ² = AB ² + BC ² (segitiga biru)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (segitiga ungu)

Luas segitiga

Luas segitiga diberikan oleh produk asasnya a dan ketinggiannya h, dibahagi dengan 2. Dan dengan trigonometri, ketinggian ini boleh ditulis sebagai h = b sinθ.

Rajah 10. Luas segitiga. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh segitiga

Contoh 1

Dikatakan bahawa melalui teorema pertamanya, Thales berjaya mengukur ketinggian Piramid Besar di Mesir, salah satu dari 7 keajaiban dunia kuno, dengan mengukur bayangan yang diproyeksikan di tanah dan yang diproyeksikan oleh tiang yang digerakkan ke tanah.

Ini adalah garis besar prosedur yang diikuti oleh Tales:

Rajah 11. Skema untuk mengukur ketinggian Piramid Besar dengan persamaan segitiga. Sumber: Wikimedia Commons. Dake

Thales dengan betul menganggap bahawa sinar matahari menyerang secara selari. Dengan ini, dia membayangkan segitiga kanan yang besar di sebelah kanan.

Di sana D adalah ketinggian piramid dan C adalah jarak di atas tanah yang diukur dari pusat ke bayangan yang dilemparkan oleh piramid di lantai padang pasir. Mungkin sukar untuk mengukur C, tetapi tentu lebih mudah daripada mengukur ketinggian piramid.

Di sebelah kiri adalah segitiga kecil, dengan kaki A dan B, di mana A adalah ketinggian tiang yang digerakkan secara menegak ke tanah dan B adalah bayangan yang dilemparkannya. Kedua-dua panjang boleh diukur, seperti C (C sama dengan panjang bayangan + setengah panjang piramid).

Oleh itu, dengan persamaan segitiga:

A / B = D / C

Dan ketinggian Piramid Besar ternyata: D = C. (A / B)

Contoh 2

Kekuda dalam pembinaan sipil adalah struktur yang terbuat dari batang lurus tipis dari kayu atau logam yang disilang, yang digunakan sebagai sokongan di banyak bangunan. Mereka juga dikenali sebagai kekuda, kekuda, atau kekuda.

Di dalamnya segitiga selalu ada, kerana bar saling berkaitan pada titik yang disebut simpul, yang dapat diperbaiki atau diartikulasikan.

Gambar 12. Segitiga terdapat di bingkai jambatan ini. Sumber: PxHere.

Contoh 3

Kaedah yang dikenali sebagai triangulasi memungkinkan memperoleh lokasi titik yang tidak dapat diakses dengan mengetahui jarak lain yang lebih mudah diukur, dengan syarat segitiga terbentuk yang merangkumi lokasi yang diinginkan di antara bucunya.

Sebagai contoh, dalam gambar berikut kita ingin mengetahui di mana kapal itu berada di laut, dilambangkan sebagai B.

Gambar 13. Skema triangulasi untuk mengesan kapal. Sumber: Wikimedia Commons. Colette

Pertama, jarak antara dua titik di pantai diukur, yang dalam gambar adalah A dan C. Seterusnya, sudut α dan β mesti ditentukan dengan bantuan teodolit, alat yang digunakan untuk mengukur sudut menegak dan mendatar.

Dengan semua maklumat ini, segitiga dibina di bucu atasnya adalah kapal. Masih dikira sudut γ, dengan menggunakan sifat segitiga dan jarak AB dan CB menggunakan trigonometri, untuk menentukan kedudukan kapal di laut.

Latihan

Latihan 1

Dalam gambar yang ditunjukkan, sinar matahari selari. Dengan cara ini, pokok setinggi 5 meter membuang bayangan 6 meter di tanah. Pada masa yang sama, bayangan bangunan adalah 40 meter. Ikuti Teorema Pertama Thales, cari ketinggian bangunan.

Gambar 14. Skema latihan yang telah diselesaikan 1. Sumber: F. Zapata.

Penyelesaian

Segitiga merah mempunyai sisi masing-masing 5 dan 6 meter, sementara yang biru mempunyai ketinggian H - ketinggian bangunan - dan pangkalan 40 meter. Kedua-dua segitiga serupa, oleh itu:

Latihan 2

Anda perlu mengetahui jarak mendatar antara dua titik A dan B, tetapi jaraknya terletak di tanah yang sangat tidak rata.

Kira-kira di titik tengah (P _m ) medan tersebut menonjol ketinggian 1,75 meter. Sekiranya ukuran pita menunjukkan panjang 26 meter diukur dari A hingga ke tempat yang menonjol, dan 27 meter dari B ke titik yang sama, cari jarak AB.

Gambar 15. Skema untuk latihan yang telah diselesaikan 2. Sumber: Jiménez, R. Matematik II. Geometri dan trigonometri.

Penyelesaian

Teorema Pythagoras diterapkan pada salah satu dari dua segitiga tepat dalam gambar. Bermula dengan yang di sebelah kiri:

Hypotenuse = c = 26 meter

Tinggi = a = 1.75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Sekarang sapukan Pythagoras di segitiga di sebelah kanan, kali ini c = 27 meter, a = 1.75 meter. Dengan nilai-nilai ini:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Jarak AB dijumpai dengan menambahkan hasil ini:

AB = 25.94 m + 26.94 m = 52.88 m.

Rujukan

1. Baldor, JA 1973. Geometri Pesawat dan Angkasa. Budaya Amerika Tengah.
2. Barredo, D. Geometri segitiga. Dipulihkan dari: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematik II. Geometri dan trigonometri. Edisi kedua. Pearson.
4. Wentworth, G. Geometri Plane. Dipulihkan dari: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Segi tiga. Dipulihkan dari: es. wikipedia.org.