VEKTOR: CIRI DAN SIFAT, ELEMEN, JENIS, CONTOH - SAINS - 2025

The vektor adalah entiti matematik yang yang secara umumnya disertai dengan magnitud dan arah satu unit pengukuran -positiva- juga. Ciri-ciri tersebut sangat sesuai untuk menggambarkan kuantiti fizikal seperti kelajuan, daya, pecutan, dan banyak lagi.

Dengan vektor adalah mungkin untuk melakukan operasi seperti penambahan, pengurangan dan produk. Pembahagian tidak didefinisikan untuk vektor dan untuk produk, terdapat tiga kelas yang akan kita terangkan kemudian: produk titik atau titik, produk vektor atau salib dan produk skalar oleh vektor.

Rajah 1. Unsur-unsur vektor. Sumber: Wikimedia Commons.

Untuk menggambarkan sepenuhnya vektor, semua ciri mesti ditunjukkan. Besarnya atau modul adalah nilai berangka yang disertai oleh satu unit, sementara arah dan akal ditentukan dengan bantuan sistem koordinat.

Mari kita lihat contohnya: anggap sebuah pesawat terbang dari satu bandar ke kota lain dengan kecepatan 850 km / jam ke arah NE. Di sini kita mempunyai vektor yang ditentukan sepenuhnya, kerana magnitudnya tersedia: 850 km / jam, sedangkan arah dan akal adalah NE.

Vektor biasanya ditunjukkan secara grafik oleh segmen garis berorientasi, yang panjangnya berkadar dengan besarnya.

Sementara untuk menentukan arah dan pengertian, diperlukan garis rujukan, yang biasanya sumbu mendatar, walaupun utara juga dapat diambil sebagai rujukan, seperti halnya kecepatan pesawat:

Rajah 2. Vektor halaju. Sumber: F. Zapata.

Gambar menunjukkan vektor kelajuan pesawat, dilambangkan sebagai v dalam huruf tebal , untuk membezakannya dari kuantiti skalar, yang hanya memerlukan nilai berangka dan beberapa unit harus ditentukan.

Unsur vektor

Seperti yang telah kita katakan, elemen vektor adalah:

-Magnitude atau modul, kadang-kadang disebut juga nilai mutlak atau norma vektor.

-Alamat

-Sense

Dalam contoh dalam Rajah 2, modulus v adalah 850 km / j. Modulus dilambangkan sebagai v tanpa tebal, atau sebagai - v -, di mana bar mewakili nilai mutlak.

Arah v ditentukan relatif terhadap Utara. Dalam kes ini adalah 45º Utara dari Timur (45º NE). Akhirnya hujung anak panah memberitahu tentang rasa v .

Dalam contoh ini, asal vektor dilukis bertepatan dengan asal O sistem koordinat, ini dikenali sebagai vektor yang dipautkan. Sebaliknya, jika asal vektor tidak bertepatan dengan sistem rujukan, ia dikatakan vektor bebas.

Perlu diingatkan bahawa untuk menentukan sepenuhnya vektor, ketiga elemen ini mesti diberi perhatian, jika tidak, penerangan vektor tidak lengkap.

Komponen vektor segi empat tepat

Rajah 3. Komponen segi empat tepat vektor dalam satah. Sumber: Wikimedia Commons. uranter

Dalam gambar kita mempunyai contoh vektor v kita , yang berada dalam satah xy.

Sangat mudah untuk melihat bahawa unjuran v pada paksi koordinat x dan y menentukan segitiga tepat. Unjuran ini adalah v _{y dan} v _x dan dipanggil komponen segi empat tepat v .

Salah satu cara untuk menunjukkan v dengan komponen segi empat tepatnya adalah seperti ini: v =x, v _dan >. Tanda kurung ini digunakan sebagai pengganti tanda kurung untuk menekankan fakta bahawa ia adalah vektor dan bukan titik, kerana dalam hal ini tanda kurung akan digunakan.

Sekiranya vektor berada dalam ruang tiga dimensi, satu komponen lagi diperlukan, sehingga:

v =x, v _y , v _z >

Mengetahui komponen segi empat tepat magnitud vektor dikira, bersamaan dengan mencari tempat hipotenus segi tiga tepat yang kaki adalah v _x dan v _{dan .} Melalui teorema Pythagoras, ia menyatakan bahawa:

Bentuk kutub vektor

Apabila besarnya vektor - v - dan sudut θ yang terbentuk dengan paksi rujukan, umumnya paksi mendatar, diketahui, vektor juga ditentukan. Vektor kemudian dikatakan dinyatakan dalam bentuk kutub.

Komponen segi empat dalam kes ini mudah dikira:

Mengikut di atas, komponen segiempat halaju vektor v pesawat akan menjadi:

Jenis-Jenis

Terdapat beberapa jenis vektor. Terdapat vektor halaju, kedudukan, anjakan, daya, medan elektrik, momentum, dan banyak lagi. Seperti yang telah kita katakan, dalam fizik terdapat sebilangan besar vektor kuantiti.

Mengenai vektor yang mempunyai ciri-ciri tertentu, kita dapat menyebut jenis vektor berikut:

-Null : ini adalah vektor dengan magnitud 0 dan dilambangkan sebagai 0. Ingat bahawa huruf tebal melambangkan tiga ciri asas vektor, sedangkan huruf normal hanya mewakili modul.

Sebagai contoh, pada badan dalam keseimbangan statik, jumlah daya mestilah vektor nol.

- Bebas dan dihubungkan : vektor bebas adalah titik yang titik asal dan kedatangannya adalah sepasang titik di satah atau di angkasa, tidak seperti vektor yang dihubungkan, yang asalnya bertepatan dengan sistem rujukan yang digunakan untuk menggambarkannya.

Pasangan atau momen yang dihasilkan oleh beberapa kekuatan adalah contoh baik vektor bebas, kerana pasangan itu tidak berlaku pada titik tertentu.

- Equipolentes : mereka adalah dua vektor bebas yang mempunyai ciri yang sama. Oleh itu mereka mempunyai kekuatan, arah dan akal yang sama.

- Coplanar atau coplanar : vektor yang tergolong dalam satah yang sama.

- Berlawanan : vektor dengan magnitud dan arah yang sama, tetapi arah yang bertentangan. Vektor yang bertentangan dengan vektor v adalah vektor - v dan jumlah kedua-duanya adalah vektor nol: v + (- v ) = 0 .

- Serentak : vektor yang garis tindakannya semua melewati titik yang sama.

- Slider : adalah vektor yang titik aplikasinya dapat meluncur sepanjang garis tertentu.

- Collinear : vektor yang terletak pada garis yang sama.

- Kesatuan : vektor yang modulnya adalah 1.

Vektor unit ortogonal

Terdapat jenis vektor yang sangat berguna dalam fizik yang disebut vektor unit ortogonal. Vektor unit ortogonal mempunyai modul sama dengan 1 dan unitnya boleh ada, misalnya kelajuan, kedudukan, daya atau lain-lain.

Terdapat sekumpulan vektor khas yang dapat dengan mudah mewakili vektor lain dan melakukan operasi dengannya: mereka adalah vektor unit ortogonal i , j dan k , unit dan tegak lurus antara satu sama lain.

Dalam dua dimensi, vektor ini diarahkan mengikut arah positif kedua paksi-x dan paksi-y. Dan dalam tiga dimensi vektor unit ditambahkan ke arah paksi z positif. Mereka ditunjukkan seperti berikut:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektor boleh ditunjukkan oleh vektor unit i , j dan k seperti berikut:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Sebagai contoh, vektor halaju v dalam contoh sebelumnya boleh ditulis sebagai:

v = 601.04 i + 601.04 j km / j

Komponen dalam k tidak diperlukan, kerana vektor ini berada dalam satah.

Penambahan vektor

Jumlah vektor muncul sangat kerap dalam pelbagai situasi, misalnya ketika anda ingin mencari daya yang dihasilkan pada objek yang dipengaruhi oleh pelbagai daya. Untuk memulakan, anggaplah bahawa kita mempunyai dua vektor bebas u dan v di pesawat, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut di sebelah kiri:

Rajah 4. Jumlah graf dua vektor. Sumber: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Ia dengan segera dipindahkan ke vektor v , tanpa mengubah besaran, arah atau rasa, sehingga asal-usulnya bertepatan dengan akhir u .

Jumlah vektor disebut w dan diambil bermula dari u yang berakhir dengan v , mengikut rajah yang betul. Penting untuk diperhatikan bahawa besarnya vektor w tidak semestinya jumlah besaran v dan u .

Sekiranya anda memikirkannya dengan teliti, satu-satunya masa bahawa besarnya vektor yang dihasilkan adalah jumlah magnitud tambahan ialah apabila kedua-dua penambahan itu berada dalam arah yang sama dan mempunyai pengertian yang sama.

Dan apa yang berlaku jika vektor tidak bebas? Ia juga sangat mudah untuk menambahkannya. Caranya adalah dengan menambahkan komponen ke komponen, atau kaedah analisis.

Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan vektor dalam gambar berikut, perkara pertama adalah menyatakannya dengan salah satu cara Cartesian yang dijelaskan sebelumnya:

Rajah 5. Jumlah dua vektor yang dihubungkan. Sumber: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Untuk mendapatkan komponen x dari jumlah vektor w , tambahkan komponen x masing-masing dari v dan u : w _x = 5 + 2 = 7. Dan untuk mendapatkan w _y prosedur seakan diikuti: w _y = 1 + 3. Oleh itu:

u = <7.4>

Sifat penambahan vektor

-Jumlah dua atau lebih vektor menghasilkan vektor lain.

-Ini adalah komutatif, susunan tambahan tidak mengubah jumlahnya, sedemikian rupa sehingga:

u + v = v + u

- Elemen neutral dari jumlah vektor adalah vektor nol: v + 0 = v

- Pengurangan dua vektor ditakrifkan sebagai jumlah yang berlawanan: v - u = v + (-u)

Contoh Vektor

Seperti yang telah kita katakan, terdapat banyak kuantiti vektor dalam fizik. Antara yang terkenal adalah:

-Posisi

-Pengguguran

-Kelajuan purata dan kelajuan seketika

-Pecutan

-Kuat kuasa

-Jumlah pergerakan

-Tork atau momen daya

-Kejutan

-Bidang elektrik

-Magnetik medan

-Magnetik momen

Sebaliknya, mereka bukan vektor tetapi skalar:

-Cuaca

-Mass

- Suhu

-Jilid

-Ketumpatan

-Kerja mekanikal

-Tenaga

-Sangat

-Kuasa

-Voltan

-Arus elektrik

Operasi lain antara vektor

Sebagai tambahan kepada penambahan dan pengurangan vektor, terdapat tiga operasi lain yang sangat penting antara vektor, kerana ia menghasilkan kuantiti fizikal yang sangat penting:

-Produk skalar oleh vektor.

-Produk titik atau produk titik antara vektor

-Dan produk salib atau vektor antara dua vektor.

Produk skalar dan vektor

Pertimbangkan undang-undang kedua Newton, yang menyatakan bahawa kekuatan F dan pecutan a adalah berkadar. Pemalar berkadar adalah jisim objek, oleh itu:

F = m. ke

Jisim adalah skalar; bagi bahagian, daya dan pecutan adalah vektor. Oleh kerana daya diperoleh dengan mengalikan jisim dengan pecutan, itu adalah hasil produk skalar dan vektor.

Jenis produk ini selalu menghasilkan vektor. Inilah contoh lain: jumlah pergerakan. Biarkan P menjadi vektor momentum, v vektor halaju, dan seperti biasa, m adalah jisim:

P = m. v

Produk titik atau produk titik antara vektor

Kami telah meletakkan kerja mekanikal dalam senarai kuantiti yang bukan vektor. Walau bagaimanapun, kerja dalam fizik adalah hasil operasi antara vektor yang disebut produk skalar, produk dalaman atau produk titik.

Biarkan vektor v dan u , tentukan titik atau produk skalar di antara mereka sebagai:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Di mana θ adalah sudut antara keduanya. Daripada persamaan yang ditunjukkan, hasil dari titik produk adalah skalar dan juga bahawa jika kedua-dua vektor tegak lurus, produk titik mereka adalah 0.

Kembali ke kerja mekanikal W, ini adalah produk skalar antara vektor daya F dan vektor anjakan ℓ .

Apabila vektor tersedia dari segi komponennya, produk titik juga sangat mudah dikira. Sekiranya v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, produk titik antara keduanya adalah:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Produk titik antara vektor bersifat komutatif, oleh itu:

v ∙ u = u ∙ v

Produk silang atau produk vektor antara vektor

Sekiranya v dan u adalah dua vektor contoh kami, kami menentukan produk vektor sebagai:

v x u = w

Ini dengan segera menunjukkan bahawa produk silang menghasilkan vektor, yang modulus didefinisikan sebagai:

Di mana θ ialah sudut antara vektor.

Produk silang tidak bersifat komutatif, oleh itu v x u ≠ u x v. Sebenarnya v x u = - (u x v).

Sekiranya dua vektor contoh dinyatakan dalam vektor unit, pengiraan produk vektor difasilitasi:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Merentas produk antara vektor unit

Produk silang antara vektor unit yang sama adalah sifar, kerana sudut di antara mereka adalah 0º. Tetapi antara vektor unit yang berbeza, sudut di antara mereka adalah 90º dan sin 90º = 1.

Gambar rajah berikut membantu mencari produk ini. Pada arah anak panah ia mempunyai arah positif dan ke arah yang berlawanan negatif:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; saya x k = -j

Menerapkan harta distributif, yang masih berlaku untuk produk antara vektor ditambah sifat vektor unit, kami mempunyai:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Memandangkan vektor:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Berapakah vektor yang mesti untuk jumlah v + u + w menjadi 6 i +8 j -10 k ?

Penyelesaian

Oleh itu, mesti dipenuhi bahawa:

Jawapannya ialah: w = 9 i +7 j - 18 k

- Latihan 2

Berapakah sudut antara vektor v dan u dalam Latihan 1?

Penyelesaian

Kami akan menggunakan produk titik. Dari definisi yang kita ada:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Menggantikan nilai-nilai ini:

Rujukan

1. Figueroa, D. (2005). Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik. Disunting oleh Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizik: Prinsip dengan Aplikasi. Ke-6. Dewan Ed Prentice.
3. Rex, A. 2011. Asas Fizik. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fizik Universiti dengan Fizik Moden. 14hb. Ed. Jilid 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. 7hb. Pembelajaran Ed. Cengage.