TALI (GEOMETRI): PANJANG, TEOREMA DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2025

A kord , dalam geometri satah, adalah segmen garisan yang menyertai dua titik pada lengkung. Garis yang mengandungi segmen ini dikatakan sebagai garis pemisah ke lengkung. Ini selalunya berbentuk bulatan, tetapi kord pasti dapat dilukis pada lengkung lain, seperti elips dan parabolas.

Pada rajah 1 di sebelah kiri terdapat lekukan, di mana titik A dan B. tergolong. Kord antara A dan B adalah segmen hijau. Di sebelah kanan adalah lilitan dan salah satu rentetan, kerana mungkin untuk menarik infiniti.

Gambar 1. Di sebelah kiri kord lengkung sewenang-wenangnya dan di sebelah kanan kord bulatan. Sumber: Wikimedia Commons.

Diameternya sangat menarik dalam lilitan, yang juga dikenali sebagai kord utama. Ini adalah kord yang selalu mengandungi pusat lilitan dan mengukur dua kali radius.

Gambar berikut menunjukkan jejari, diameter, kord dan juga lengkok lilitan. Mengenal pasti setiap perkara dengan betul adalah mustahak semasa menyelesaikan masalah.

Rajah 2. Unsur lilitan. Sumber: Wikimedia Commons.

Panjang kord bulatan

Kita dapat mengira panjang kord dalam bulatan dari Gambar 3a dan 3b. Perhatikan bahawa segitiga selalu terbentuk dengan dua sisi yang sama (isoskel): segmen OA dan OB, yang mengukur R, jejari lilitan. Bahagian ketiga segitiga adalah segmen AB, disebut C, yang tepatnya panjang kord.

Adalah perlu untuk melukis garis yang berserenjang dengan kord C untuk membelah dua sudut θ yang ada di antara dua jejari dan bucunya yang merupakan pusat O lilitan. Ini adalah sudut tengah - kerana bucunya adalah pusat - dan garis pemisah juga merupakan lurus ke lilitan.

Dua segitiga kanan segera terbentuk, hipotenus yang mengukur R. Oleh kerana pembelahan, dan dengannya diameter, membahagi kord menjadi dua bahagian yang sama, ternyata salah satu kaki adalah separuh daripada C, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 3b.

Dari definisi sinus sudut:

sin (θ / 2) = kaki yang berlawanan / hipotenus = (C / 2) / R

Oleh itu:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Gambar 3. Segitiga yang dibentuk oleh dua jejari dan kord lilitan adalah isoskel (gambar 3), kerana ia mempunyai dua sisi yang sama. Pembahagi membahagikannya kepada dua segitiga kanan (Rajah 3b). Sumber: disediakan oleh F. Zapata.

Teorema rentetan

Teorema rentetan seperti ini:

Gambar berikut menunjukkan dua kord dengan lilitan yang sama: AB dan CD, yang bersilang pada titik P. Di kord AB, segmen AP dan PB didefinisikan, sementara dalam kord CD CP dan PD ditakrifkan. Jadi, menurut teorema:

AP. PB = CP. P.S.

Rajah 4. Teorema kord sebuah bulatan. Sumber: F. Zapata.

Senaman tali yang diselesaikan

- Latihan 1

Lingkaran mempunyai akord 48 cm, yang terletak 7 cm dari pusat. Hitung luas bulatan dan perimeter lilitan.

Penyelesaian

Untuk mengira luas bulatan A, cukup untuk mengetahui radius lilitan kuasa dua, kerana memang benar:

A = BCR ²

Sekarang, angka yang dibentuk dengan data yang diberikan adalah segitiga kanan, yang kakinya masing-masing berukuran 7 dan 24 cm.

Rajah 5. Geometri untuk latihan yang diselesaikan 1. Sumber: F. Zapata.

Oleh itu, untuk mencari nilai R ² , teorema Pythagoras c ² = a ² + b ² diterapkan secara langsung , kerana R adalah hipotenus segitiga:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Jadi kawasan yang diminta adalah:

A = π. 625 cm ² = 1963.5 cm ²

Mengenai perimeter atau panjang L lilitan, ia dikira dengan:

L = 2π. R

Nilai pengganti:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Latihan 2

Tentukan panjang kord bulatan yang persamaannya adalah:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinat titik tengah kord dikenali sebagai P (17/2; 7/2).

Penyelesaian

Titik tengah kord P tidak termasuk pada lilitan, tetapi titik akhir kord itu berlaku. Masalahnya dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema rentetan yang sebelumnya disebutkan, tetapi pertama-tama lebih mudah untuk menulis persamaan lilitan dalam bentuk kanonik, untuk menentukan jejari R dan pusatnya O.

Langkah 1: dapatkan persamaan kanonik lilitan

Persamaan kanonik bulatan dengan pusat (h, k) adalah:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Untuk mendapatkannya, anda mesti melengkapkan kotak:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Perhatikan bahawa 6x = 2. (3x) dan 14y = 2. (7y), sehingga ungkapan sebelumnya ditulis semula seperti ini, tetap tidak berubah:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Dan sekarang, dengan mengingat definisi produk yang luar biasa (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, anda boleh menulis:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Lingkar mempunyai pusat (3,7) dan jejari R = √169 = 13. Rajah berikut menunjukkan graf lilitan dan kord yang akan digunakan dalam teorema:

Rajah 6. Graf lilitan latihan yang diselesaikan 2. Sumber: F. Zapata menggunakan kalkulator grafik dalam talian Mathway.

Langkah 2: tentukan segmen yang akan digunakan dalam teorema rentetan

Segmen yang akan digunakan adalah rentetan CD dan AB, menurut gambar 6, keduanya dipotong pada titik P, oleh itu:

CP. PD = AP. PB

Sekarang kita akan mencari jarak antara titik O dan P, kerana ini akan memberi kita panjang segmen OP. Sekiranya kita menambahkan jejari pada panjang ini, kita akan mempunyai segmen CP.

Jarak d _OP antara dua titik koordinat (x ₁ , y ₁ ) dan (x ₂ , y ₂ ) adalah:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Dengan semua hasil yang diperoleh, ditambah grafik, kami membina senarai segmen berikut (lihat gambar 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = panjang kord

Mengganti dalam teorema rentetan:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Panjang tali ialah 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Mungkinkah pembaca menyelesaikan masalah dengan cara lain?

Rujukan

1. Baldor, A. 2004. Geometri Pesawat dan Angkasa dengan Trigonometri. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Panjang Pahat. Dipulihkan dari: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Dipulihkan dari: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Dipulihkan dari: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Tali (Geometri). Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.