ELLIPSOID: CIRI DAN CONTOH - ARTE - 2025

The ellipsoid adalah permukaan dalam ruang yang tergolong dalam kumpulan permukaan kuadratik dan yang persamaan umum adalah dalam bentuk:

Ini adalah setara tiga dimensi elips, yang dicirikan oleh mempunyai jejak elips dan bulat dalam beberapa kes khas. Jejaknya adalah lengkung yang diperoleh dengan memotong ellipsoid dengan satah.

Gambar 1. Tiga elipsoid berbeza: di bahagian atas sfera di mana tiga paksi separuh sama, di kiri bawah sferoid, dengan dua paksi separuh sama dan yang berlainan, dan akhirnya di kanan bawah, sferoid triaksial, dengan tiga paksi yang berbeza panjang. Sumber: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Selain elipsoid, terdapat lima lagi kuadrik: hiperboloid satu-lembaran dan dua-lembar, dua jenis paraboloid (hiperbolik dan elips), dan kerucut elips. Jejaknya juga berbentuk kerucut.

Elipsoid juga dapat dinyatakan dengan persamaan standard dalam koordinat Cartesian. Elipsoid yang berpusat pada asal (0,0,0) dan dinyatakan dengan cara ini, menyerupai elips, tetapi dengan istilah tambahan:

Nilai a, b, dan c adalah nombor nyata lebih besar daripada 0 dan mewakili tiga paksi separuh elipsoid.

Ciri-ciri Ellipsoid

- Persamaan standard

Persamaan standard dalam koordinat Cartesian untuk elips yang berpusat pada titik (h, k, m) adalah:

- Persamaan parametrik ellipsoid

Dalam koordinat sfera, elipsoid dapat dijelaskan seperti berikut:

x = dosa θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Sumbu separuh elipsoid tetap a, b dan c, sementara parameternya adalah sudut θ dan φ dari rajah berikut:

Rajah 2. Sistem koordinat sfera. Elipsoid dapat di parameter menggunakan sudut yang ditunjukkan theta dan phi sebagai parameter. Sumber: Wikimedia Commons. Andeggs / Domain awam.

- Jejak ellipsoid

Persamaan umum permukaan dalam ruang adalah F (x, y, z) = 0 dan jejak permukaan adalah lekukan:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Bagi elipsoid, lengkung seperti elips dan kadang-kadang bulatan.

- Isipadu

Isipadu V dari elipsoid diberikan oleh (4/3) π kali produk tiga paksinya:

V = (4/3) π. abc

Kes khas elipsoid

-E elipsoid menjadi sfera apabila semua paksi separuh mempunyai ukuran yang sama: a = b = c ≠ 0. Ini masuk akal, kerana elipsoid seperti sfera yang telah diregangkan secara berbeza di setiap satu paksi.

-Sferoid adalah ellipsoid di mana dua paksi separuh sama dan yang ketiga berbeza, misalnya ia boleh menjadi a = b ≠ c.

Spheroid juga disebut elipsoid revolusi, kerana dapat dihasilkan dengan memutar elips di sekitar sumbu.

Sekiranya paksi putaran bertepatan dengan paksi utama, sferoid itu berprolat, tetapi jika bertepatan dengan paksi kecil, ia adalah serong:

Rajah 3. Spheroid oblate di sebelah kiri dan spheroid prolate di sebelah kanan. Sumber: Wikimedia Commons.

Ukuran meratakan spheroid (elipsisitas) diberikan oleh perbezaan panjang antara kedua-dua paksi separuh, dinyatakan dalam bentuk pecahan, iaitu, adalah perataan unit, yang diberikan oleh:

f = (a - b) / a

Dalam persamaan ini, a mewakili paksi separa utama dan b paksi separa kecil, ingat bahawa paksi ketiga sama dengan salah satu paksi untuk sferoid. Nilai f adalah antara 0 dan 1 dan untuk sferoid ia harus lebih besar daripada 0 (jika sama dengan 0 kita hanya mempunyai sfera).

Rujukan elipsoid

Planet-planet dan bintang-bintang pada umumnya, bukan sfera sempurna, kerana pergerakan putaran di sekitar sumbu mereka meratakan badan di kutub dan melonjakkannya di khatulistiwa.

Itulah sebabnya mengapa Bumi berubah menjadi seperti sferoid oblate, walaupun tidak berlebihan seperti yang ada pada gambar sebelumnya, dan pada gilirannya Saturnus gas raksasa adalah yang paling tinggi dari planet-planet di tata surya.

Oleh itu, cara yang lebih realistik untuk mewakili planet adalah dengan menganggap bahawa mereka seperti sferoid atau elipsoid revolusi, yang sumbu separa utama adalah jejari khatulistiwa dan paksi separa minor jejari kutub.

Pengukuran yang teliti dilakukan di dunia telah memungkinkan untuk membina elipsoid rujukan Bumi sebagai kaedah paling tepat untuk membuatnya secara matematik.

Bintang-bintang juga mempunyai pergerakan putaran yang memberi mereka bentuk yang lebih kurang rata. Bintang laju Achernar, bintang paling terang kelapan di langit malam, di buruj selatan Eridanus sangat elips jika dibandingkan dengan kebanyakan bintang. Ia adalah 144 tahun cahaya dari kami.

Pada tahap ekstrem yang lain, beberapa tahun yang lalu saintis menemui objek paling sfera yang pernah dijumpai: bintang Kepler 11145123, 5000 tahun cahaya, dua kali ukuran Matahari kita dan perbezaan antara paksi separa hanya 3 km. Seperti yang dijangkakan, ia juga berputar dengan lebih perlahan.

Bagi Bumi, ia bukan sferoid sempurna kerana permukaannya yang kasar dan variasi graviti tempatan. Atas sebab ini, ada lebih dari satu spheroid rujukan yang tersedia dan di setiap laman web dipilih yang paling sesuai dengan geografi tempatan.

Bantuan satelit sangat berharga dalam membuat model bentuk Bumi yang semakin tepat, berkat mereka diketahui, sebagai contoh, bahawa kutub selatan lebih dekat dengan khatulistiwa daripada kutub utara.

Rajah 4. Haumea, planet kerdil trans-Neptunian mempunyai bentuk elipsoid. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh berangka

Kerana putaran Bumi, daya sentrifugal dihasilkan yang memberikannya bentuk elipsoid bujur, bukan sfera. Radius khatulistiwa Bumi diketahui 3963 batu dan jejari kutub adalah 3942 batu.

Cari persamaan jejak khatulistiwa, ukuran ellipsoid ini dan ukuran ratakannya. Bandingkan juga dengan elipsisitas Saturnus, dengan data yang disediakan di bawah:

-Radius Khatulistiwa Saturnus: 60,268 km

-Radius kutub Saturnus: 54,364 km

Penyelesaian

Sistem koordinat diperlukan, yang akan kita anggap berpusat pada asal (pusat Bumi). Kami akan menganggap paksi z menegak dan jejak yang sepadan dengan khatulistiwa terletak pada satah xy, bersamaan dengan satah z = 0.

Di satah khatulistiwa, paksi separa a dan b sama, oleh itu a = b = 3963 batu, sementara c = 3942 batu. Ini adalah kes khas: sferoid berpusat pada titik (0,0,0) seperti yang disebutkan di atas.

Jejak khatulistiwa adalah bulatan jejari R = 3963 batu, berpusat pada asal. Ia dikira dengan membuat z = 0 dalam persamaan standard:

Dan persamaan standard ellipsoid terestrial adalah:

f _Bumi = (a - b) / a = (3963-3942) batu / 3963 batu = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Perhatikan bahawa elips f adalah kuantiti tanpa dimensi.

Rujukan

1. ArcGIS untuk Desktop. Spheroid dan sfera. Dipulihkan dari: desktop.arcgis.com.
2. Dunia BBC. Misteri objek paling sfera yang pernah ditemui di Alam Semesta. Dipulihkan dari: bbc.com.
3. Larson, R. Kalkulus dan Geometri Analitik. Edisi keenam. Jilid 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.