KESALAHAN PERSAMPELAN: FORMULA DAN PERSAMAAN, PENGIRAAN, CONTOH - DUDAS - 2025

The pensampelan kesilapan atau persampelan ralat dalam statistik adalah perbezaan di antara nilai min sampel dan nilai min jumlah penduduk. Untuk menggambarkan idea itu, mari kita bayangkan bahawa jumlah penduduk sebuah bandar adalah satu juta orang, yang mana anda mahukan ukuran kasut rata-rata, yang mana sampel rawak seribu orang diambil.

Ukuran purata yang muncul dari sampel tidak semestinya bertepatan dengan jumlah populasi, walaupun jika sampel tidak berat sebelah, nilainya harus dekat. Perbezaan antara nilai min sampel dan jumlah populasi adalah kesalahan persampelan.

Gambar 1. Oleh kerana sampel adalah sebahagian daripada jumlah populasi, min sampel mempunyai margin kesalahan. Sumber: F. Zapata.

Secara umum, nilai rata-rata jumlah populasi tidak diketahui, tetapi ada teknik untuk mengurangkan ralat dan formula ini untuk menganggarkan margin ralat persampelan yang akan dibincangkan dalam artikel ini.

Formula dan persamaan

Katakanlah bahawa kita ingin mengetahui nilai min bagi suatu karakteristik x yang dapat diukur pada populasi berukuran N, tetapi oleh kerana N adalah sebilangan besar, tidak layak untuk menjalankan kajian mengenai jumlah populasi, maka kita melanjutkan untuk mengambil sampel rawak saiz n <

Nilai min sampel dilambangkan dengan dan nilai min bagi jumlah penduduk dilambangkan dengan huruf Yunani μ (baca mu atau miu).

Katakan sampel m diambil dari jumlah populasi N, semua ukuran n sama dengan nilai min 1>, 2>, 3>,….m>.

Nilai min ini tidak akan sama antara satu sama lain dan semua akan berada di sekitar nilai min penduduk μ. Margin ralat persampelan E menunjukkan jangkaan pemisahan nilai min relatif dengan nilai min populasi μ dalam peratusan tertentu yang disebut tahap keyakinan γ (gamma).

Margin ralat piawai bagi sampel ukuran n adalah:

ε = σ / √n

di mana σ adalah sisihan piawai (akar kuadrat dari varians), yang dikira menggunakan formula berikut:

σ = √

Makna margin kesalahan standard ε adalah seperti berikut:

Nilai purata diperolehi dengan sampel ukuran n dimasukkan dalam selang waktu ( - ε, + ε) dengan tahap keyakinan 68.3%.

Cara mengira ralat persampelan

Pada bahagian sebelumnya, formula untuk mencari margin kesalahan standard sampel ukuran n diberikan, di mana kata standard menunjukkan bahawa itu adalah margin kesalahan dengan keyakinan 68%.

Ini menunjukkan bahawa jika diambil banyak sampel dengan ukuran yang sama, 68% daripadanya akan memberikan nilai min dalam julat.

Terdapat peraturan sederhana, yang disebut peraturan 68-95-99.7, yang membolehkan kita mencari margin ralat persampelan E untuk tahap keyakinan 68%, 95% dan 99.7% dengan mudah, kerana margin ini adalah 1⋅ ε, 2 ⋅ ε dan 3⋅ ε masing-masing.

Untuk tahap keyakinan

Sekiranya tahap keyakinan γ bukan salah satu perkara di atas, maka ralat persampelan adalah sisihan piawai σ dikalikan dengan faktor Zγ, yang diperoleh dengan prosedur berikut:

1.- Pertama, tahap kepentingan α ditentukan, yang dikira dari tahap keyakinan γ melalui hubungan berikut: α = 1 - γ

2.- Maka kita mesti mengira nilai 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, yang sepadan dengan frekuensi normal terkumpul antara -∞ dan Zγ, dalam taburan normal atau Gaussian yang ditandai F (z), yang definisinya dapat dilihat pada rajah 2.

3.- Persamaan F (Zγ) = 1 - α / 2 diselesaikan dengan menggunakan jadual taburan normal (kumulatif) F, atau melalui aplikasi komputer yang mempunyai fungsi Gaussian piawai terbalik F ^-1 .

Dalam kes terakhir kita mempunyai:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Akhirnya, formula ini digunakan untuk ralat persampelan dengan tahap kebolehpercayaan γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Rajah 2. Jadual taburan normal. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh

- Contoh 1

Hitung margin ralat piawai dalam berat purata sampel 100 bayi baru lahir. Pengiraan berat purata adalah= 3,100 kg dengan sisihan piawai σ = 1,500 kg.

Penyelesaian

Margin ralat piawai adalah ε = σ / √n = (1,500 kg) / √100 = 0,15 kg. Ini bermakna bahawa dengan data ini dapat disimpulkan bahawa berat 68% bayi baru lahir adalah antara 2,950 kg dan 3,25 kg.

- Contoh 2

Tentukan margin ralat persampelan E dan julat berat 100 bayi yang baru lahir dengan tahap keyakinan 95% jika berat purata 3,100 kg dengan sisihan piawai σ = 1,500 kg.

Penyelesaian

Sekiranya peraturan 68 terpakai; 95; 99.7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, kami mempunyai:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Dengan kata lain, 95% bayi yang baru lahir akan mempunyai berat antara 2,800 kg dan 3,400 kg.

- Contoh 3

Tentukan julat berat bayi yang baru lahir dalam Contoh 1 dengan margin keyakinan 99.7%.

Penyelesaian

Ralat persampelan dengan keyakinan 99.7% adalah 3 σ / √n, yang contohnya adalah E = 3 * 0.15 kg = 0.45 kg. Dari sini menunjukkan bahawa 99.7% bayi yang baru lahir akan mempunyai berat antara 2,650 kg dan 3,550 kg.

- Contoh 4

Tentukan faktor Zγ untuk tahap keyakinan 75%. Tentukan margin ralat persampelan dengan tahap kebolehpercayaan ini untuk kes yang ditunjukkan dalam Contoh 1.

Penyelesaian

Tahap keyakinan adalah γ = 75% = 0.75, yang berkaitan dengan tahap keertian α melalui hubungan γ = (1 - α), sehingga tahap kepentingannya adalah α = 1 - 0.75 = 0 , 25.

Ini bermaksud bahawa kebarangkalian normal kumulatif antara -∞ dan Zγ adalah:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0.125 = 0.875

Yang sesuai dengan nilai Zγ dari 1.1503, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.

Rajah 3. Penentuan faktor Zγ yang sesuai dengan tahap keyakinan 75%. Sumber: F. Zapata melalui Geogebra.

Dengan kata lain, ralat persampelan adalah E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ / √n).

Apabila diterapkan pada data dari contoh 1, ini memberikan kesalahan:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Dengan tahap keyakinan 75%.

- Latihan 5

Berapakah tahap keyakinan jika Z _{α / 2} = 2.4?

Penyelesaian

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Tahap kepentingannya adalah:

α = 0.0164 = 1.64%

Dan akhirnya, tahap keyakinan kekal:

1- α = 1 - 0.0164 = 100% - 1.64% = 98.36%

Rujukan

1. Canavos, G. 1988. Kebarangkalian dan Statistik: Aplikasi dan kaedah. Bukit McGraw.
2. Devore, J. 2012. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. 8hb. Edisi. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistik untuk Pentadbir. Ke-2. Edisi. Dewan Prentice.
4. Sudman, S. 1982. Mengemukakan Soalan: Panduan Praktikal Reka Bentuk Soal Selidik San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. Pearson.
6. Wonnacott, TH dan RJ Wonnacott. 1990. Statistik Pengenalan. Edisi ke-5 Wiley
7. Wikipedia. Kesalahan persampelan. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Margin kesalahan. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com