HEPTADECAGON: SIFAT, PEPENJURU, PERIMETER, LUAS - MATEMATIK

The Heptadekagon ialah poligon sekata dengan 17 sisi dan 17 bucu. Pembinaannya dapat dilakukan dengan gaya Euclidean, yaitu dengan hanya menggunakan pembaris dan kompas. Ia adalah genius matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855), yang baru berusia 18 tahun, yang menemui prosedur untuk pembinaannya pada tahun 1796.

Ternyata, Gauss selalu cenderung pada sosok geometri ini, sehingga sejak dia menjumpai pembinaannya, dia memutuskan untuk menjadi ahli matematik. Dikatakan juga bahawa dia ingin heptadecagon itu terukir di batu nisannya.

Rajah 1. Heptadecagon adalah poligon sekata dengan 17 sisi dan 17 bucu. Sumber: F. Zapata.

Gauss juga menemui formula untuk menentukan poligon biasa mana yang kemungkinan dibina dengan pembaris dan kompas, kerana ada yang tidak mempunyai pembinaan Euclidean yang tepat.

Ciri-ciri heptadecagon

Mengenai ciri-cirinya, seperti poligon mana pun, jumlah sudut dalamannya adalah penting. Dalam poligon biasa dengan sisi n, jumlahnya diberikan oleh:

Jumlah ini, dinyatakan dalam radian, kelihatan seperti ini:

Dari formula di atas dapat disimpulkan dengan mudah bahawa setiap sudut dalaman heptadecagon mempunyai ukuran tepat α yang diberikan oleh:

Ini menunjukkan bahawa sudut dalaman kira-kira adalah:

Diagonal dan perimeter

Diagonal dan perimeter adalah aspek penting lain. Dalam sebarang poligon bilangan pepenjuru adalah:

D = n (n - 3) / 2 dan dalam hal heptadecagon, sebagai n = 17, kita kemudian mempunyai D = 119 pepenjuru.

Sebaliknya, jika panjang setiap sisi heptadecagon diketahui, maka perimeter heptadecagon biasa dijumpai hanya dengan menambahkan 17 kali panjangnya, atau yang setara dengan 17 kali panjang d setiap sisi:

P = 17 d

Perimeter heptadecagon

Kadang kala hanya jejari heptadecagon yang diketahui, jadi perlu untuk membuat formula untuk kes ini.

Untuk tujuan ini, konsep apothem diperkenalkan. Apothem adalah segmen yang bergerak dari pusat poligon biasa ke titik tengah satu sisi. Apotem yang berkaitan dengan satu sisi adalah tegak lurus ke sisi itu (lihat gambar 2).

Rajah 2. Bahagian poligon sekata dengan jejari r dan apotemnya ditunjukkan. (Penjelasan sendiri)

Tambahan pula, apotem adalah pembagi sudut dengan bucu tengah dan sisi pada dua bucu poligon berturut-turut, ini membolehkan kita mencari hubungan antara jejari r dan sisi d.

Sekiranya sudut tengah DOE didefinisikan β dan dengan mengambil kira bahawa apothem OJ adalah pembagi, kita mempunyai EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), dari mana kita mempunyai hubungan untuk mencari panjang d sisi poligon dikenali dengan jejari r dan sudut pusatnya β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Dalam kes heptadecagon β = 360º / 17, kita mempunyai:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0.3675 r

Akhirnya, formula untuk perimeter heptadecagon diperoleh, yang dikenali sebagai jejarinya:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Perimeter heptadecagon dekat dengan perimeter lilitan yang mengelilinginya, tetapi nilainya lebih kecil, iaitu, perimeter bulatan yang dibatasi adalah Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Kawasan

Untuk menentukan luas heptadecagon kita akan merujuk pada Rajah 2, yang menunjukkan sisi dan apotem poligon sekata dengan sisi n. Dalam rajah ini segitiga EOD mempunyai luas sama dengan pangkal d (sisi poligon) kali tinggi a (apotem poligon) dibahagi dengan 2:

Kawasan EOD = (dxa) / 2

Oleh itu, mengetahui apothem a dari heptadecagon dan sisi d yang sama, luasnya adalah:

Kawasan Heptadecagon = (17/2) (dxa)

Kawasan diberi sisi

Untuk mendapatkan formula bagi luas heptadecagon yang mengetahui panjang tujuh belas sisinya, perlu mendapatkan hubungan antara panjang apotem a dan sisi d.

Dengan merujuk kepada gambar 2, hubungan trigonometri berikut diperoleh:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, di mana β adalah sudut tengah JAS. Oleh itu, apothem a dapat dikira jika panjang d sisi poligon dan sudut tengah β diketahui:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Sekiranya ungkapan ini sekarang diganti dengan apothem, dalam formula untuk luas heptadecagon yang diperoleh di bahagian sebelumnya, kita mempunyai:

Kawasan Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Menjadi β = 360º / 17 untuk heptadecagon, jadi akhirnya kita mempunyai formula yang diinginkan:

Kawasan Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Kawasan diberi jejari

Pada bahagian sebelumnya terdapat hubungan antara sisi d poligon biasa dan jari-jarinya, hubungan ini adalah berikut:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ungkapan untuk d ini dimasukkan dalam ungkapan yang diperoleh di bahagian sebelumnya untuk kawasan tersebut. Sekiranya penggantian dan penyederhanaan yang relevan dibuat, formula yang memungkinkan untuk mengira luas heptadecagon diperoleh:

Kawasan Heptadecagon = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Ungkapan anggaran untuk kawasan tersebut adalah:

Kawasan Heptadecagon = 3.0706 (r ² )

Seperti yang dijangkakan, kawasan ini sedikit lebih kecil daripada luas bulatan yang melingkari heptadecagon A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . Tepatnya, ia adalah 2% lebih kecil daripada lingkarannya yang ditentukan.

Contoh

Contoh 1

Untuk menjawab soalan, perlu diingat hubungan antara sisi dan jejari poligon sisi n biasa:

d = 2 r Sen (180º / n)

Untuk heptadecagon n = 17, sehingga d = 0.3675 r, iaitu, jari-jari heptadecagon adalah r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm atau

Diameter 10.8844 cm.

Perimeter heptadecagon sisi 2 cm ialah P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Contoh 2

Kita mesti merujuk kepada formula yang ditunjukkan di bahagian sebelumnya, yang membolehkan kita mencari kawasan heptadecagon apabila mempunyai panjang d sisinya:

Kawasan Heptadecagon = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Dengan menggantikan d = 2 cm pada formula sebelumnya kita memperoleh:

Luas = 90.94 cm

Rujukan

CEA (2003). Unsur geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universiti Medellin.
Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editorial Patria.
Freed, K. (2007). Cari Poligon. Syarikat Pendidikan Penanda Aras.
Hendrik, V. (2013). Poligon Umum. Birkhäuser.
IGER. (sf). Semester Pertama Matematik Tacaná. IGER.
Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematik: Penaakulan Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
Patiño, M. (2006). Matematik 5. Progreso Editorial.
Sada, M. Poligon sekata 17 sisi dengan pembaris dan kompas. Dipulihkan dari: geogebra.org
Wikipedia. Heptadecagon. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com

HEPTADECAGON: SIFAT, PEPENJURU, PERIMETER, LUAS - MATEMATIK - 2025