- Apakah dimensi?
- Ruang tiga dimensi
- Dimensi dan masa keempat
- Koordinat hypercube
- Membongkar hypercube
- Rujukan
A Hiperkiub ialah kuasa tiga dimensi n. Kes tertentu dari hypercube empat dimensi disebut tesseract. Hypercube atau n-cube terdiri daripada segmen lurus, semua sama panjang yang ortogonal pada bucu mereka.
Manusia melihat ruang tiga dimensi: lebar, tinggi dan kedalaman, tetapi tidak mungkin bagi kita untuk memvisualisasikan hipercube dengan dimensi yang lebih besar daripada 3.
Gambar 1. 0-kubus adalah titik, jika titik itu memanjang ke arah jarak membentuk 1 kubus, jika 1-kubus itu memanjangkan jarak pada arah ortogonal kita mempunyai 2-kubus (dari sisi x ke a), jika 2-kubus memanjangkan jarak a ke arah ortogonal kita mempunyai 3-kubus. Sumber: F. Zapata.
Paling banyak kita dapat membuat unjurannya dalam ruang tiga dimensi untuk melambangkannya, dengan cara yang serupa dengan bagaimana kita memproyeksikan sebuah kubus ke satah untuk merepresentasikannya.
Dalam dimensi 0 satu-satunya angka adalah titik, jadi 0-kubus adalah titik. 1-kubus adalah segmen lurus, yang terbentuk dengan memindahkan titik ke satu arah jarak a.
Sebahagiannya, 2-kubus adalah segi empat sama. Ia dibina dengan menggeser 1-kubus (segmen panjang a) ke arah y, yang ortogonal ke arah x, jarak a.
3-kubus adalah kubus biasa. Ia dibina dari alun-alun dengan menggerakkannya ke arah ketiga (z), yang ortogonal ke arah x dan y, jarak a.
Rajah 2. Suatu kubus 4 (tesseract) adalah peluasan sebuah 3-kubus dalam arah ortogonal ke tiga arah ruang konvensional. Sumber: F. Zapata.
4-kubus adalah tesseract, yang dibina dari kubus 3 yang menggerakkannya secara ortogon, jarak a, menuju dimensi keempat (atau arah keempat), yang tidak dapat kita rasakan.
Tesseract mempunyai semua sudut tepat, ia mempunyai 16 bucu, dan semua tepinya (18 semuanya) mempunyai panjang yang sama a.
Sekiranya panjang pinggir n-kubus atau hipercube dimensi n adalah 1, maka itu adalah unit hypercube, di mana ukuran pepenjuru terpanjang √n.
Rajah 3. N-kubus diperoleh daripada kubus (n-1) yang memanjangkannya secara ortogon pada dimensi seterusnya. Sumber: wikimedia commons.
Apakah dimensi?
Dimensi adalah darjah kebebasan, atau kemungkinan arah di mana objek dapat bergerak.
Dalam dimensi 0 tidak ada kemungkinan untuk menterjemahkan dan satu-satunya objek geometri yang mungkin adalah titik.
Dimensi dalam ruang Euclidean diwakili oleh garis berorientasi atau paksi yang menentukan dimensi itu, yang disebut paksi-X. Pemisahan antara dua titik A dan B adalah jarak Euclidean:
d = √.
Dalam dua dimensi, ruang diwakili oleh dua garis yang berorientasi ortogonal antara satu sama lain, yang disebut paksi X dan paksi Y.
Kedudukan mana-mana titik dalam ruang dua dimensi ini diberikan oleh sepasang koordinat Cartesian (x, y) dan jarak antara dua titik A dan B adalah:
d = √
Kerana ia adalah ruang di mana geometri Euclid dipenuhi.
Ruang tiga dimensi
Ruang tiga dimensi adalah ruang di mana kita bergerak. Ia mempunyai tiga arah: lebar, tinggi, dan kedalaman.
Di ruang kosong sudut tegak lurus memberikan tiga arah ini dan setiap satu kita boleh mengaitkan paksi: X, Y, Z.
Ruang ini juga Euclidean dan jarak antara dua titik A dan B dikira seperti berikut:
d = √
Manusia tidak dapat melihat lebih dari tiga dimensi spatial (atau Euclidean).
Walau bagaimanapun, dari sudut matematik yang ketat adalah mungkin untuk menentukan ruang Euclidean n-dimensi.
Di ruang ini titik mempunyai koordinat: (x1, x2, x3,… .., xn) dan jarak antara dua titik adalah:
d = √.
Dimensi dan masa keempat
Sesungguhnya, dalam teori relativiti, masa dianggap sebagai satu dimensi lagi dan satu koordinat dikaitkan dengannya.
Tetapi mesti dijelaskan bahawa koordinat ini yang berkaitan dengan masa adalah nombor khayalan. Oleh itu, pemisahan dua titik atau peristiwa dalam ruang-waktu bukanlah Euclidean, melainkan mengikuti metrik Lorentz.
Hypercube empat dimensi (tesseract) tidak hidup dalam ruang-waktu, ia termasuk dalam ruang hiper Euclidean empat dimensi.
Rajah 4. Unjuran 3D hypercube empat dimensi dalam putaran sederhana di sekitar satah yang membahagikan angka dari depan ke kiri, belakang ke kanan, dan atas ke bawah. Sumber: Wikimedia Commons.
Koordinat hypercube
Koordinat simpul n-kubus yang berpusat pada asalnya diperoleh dengan melakukan semua kemungkinan permutasi ungkapan berikut:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Di mana a adalah panjang tepi.
-The jumlah daripada n-kuasa tiga kelebihan adalah: (a / 2) n (2 n ) = a n .
- Diagonal terpanjang adalah jarak antara bucu bertentangan.
-Berikut adalah bucu bertentangan dalam segi empat sama : (-1, -1) dan (+1, +1).
-Dan dalam kubus : (-1, -1, -1) dan (+1, +1, +1).
-The pepenjuru terpanjang daripada langkah-langkah n-cube:
d = √ = √ = 2√n
Dalam kes ini sisi dianggap sebagai = 2. Untuk n-cube dari sisi mana pun ia adalah:
d = a√n.
- Tesseract masing-masing mempunyai 16 bucu yang bersambung dengan empat tepi. Gambar berikut menunjukkan bagaimana bucu dihubungkan dalam tesseract.
Rajah 5. 16 bucu hypercube empat dimensi dan bagaimana ia dihubungkan ditunjukkan. Sumber: Wikimedia Commons.
Membongkar hypercube
Angka geometri biasa, misalnya poliedron, dapat dibahagikan kepada beberapa angka dimensi yang lebih kecil.
Dalam kes 2-kubus (persegi) ia boleh dibahagikan kepada empat segmen, iaitu empat 1-kubus.
Begitu juga 3-kubus yang dapat dilipat menjadi enam 2-kubus.
Rajah 6. N-kubus boleh dilipat menjadi beberapa (n-1) -kubus. Sumber: Wikimedia Commons.
Sebuah kubus 4 (tesseract) dapat dilipat menjadi lapan 3-kiub.
Animasi berikut menunjukkan pembukaan tesseract.
Rajah 7. Hiperkub 4 dimensi dapat dibahagikan kepada lapan kubus tiga dimensi. Sumber: Wikimedia Commons.
Rajah 8. Unjuran tiga dimensi hypercube empat dimensi melakukan putaran berganda di sekitar dua satah ortogonal. Sumber: Wikimedia Commons.
Rujukan
- Budaya saintifik. Hypercube, menggambarkan dimensi keempat. Dipulihkan dari: culturacientifica.com
- Epsilon. Hypercube atau tesseract empat dimensi. Dipulihkan dari: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Kaedah untuk mendapatkan tesseract dari pengembangan hypercube (4D). Dipulihkan dari: researchgate.net
- Wikibooks. Matematik, Polyhedra, Hypercubes. Dipulihkan dari: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com