- Asal dan sejarah
- Aristotle
- Apa yang dipelajari oleh logik matematik?
- Cadangan
- Jadual kebenaran
- Jenis logik matematik
- Kawasan-kawasan
- Rujukan
Yang logik matematik atau logik simbolik adalah bahasa matematik yang meliputi alat-alat di mana seseorang boleh mengesahkan atau menafikan penaakulan matematik.
Sudah diketahui bahawa tidak ada kekaburan dalam matematik. Mengingat hujah matematik, ia sah atau tidak. Tidak boleh salah dan benar pada masa yang sama.
Aspek matematik tertentu adalah bahawa ia mempunyai bahasa formal dan ketat di mana kesahan argumen dapat ditentukan. Apa yang membuat alasan tertentu atau bukti matematik tidak dapat disangkal? Itulah maksud logik matematik.
Oleh itu, logik adalah disiplin matematik yang bertanggungjawab untuk mengkaji alasan dan bukti matematik, dan menyediakan alat untuk dapat membuat kesimpulan yang betul dari pernyataan atau cadangan sebelumnya.
Untuk melakukan ini, penggunaan dibuat dari aksioma dan aspek matematik lain yang akan dikembangkan kemudian.
Asal dan sejarah
Tarikh yang tepat sehubungan dengan banyak aspek logik matematik tidak pasti. Walau bagaimanapun, sebahagian besar bibliografi mengenai subjek ini berasal dari Yunani kuno.
Aristotle
Permulaan perlakuan logik yang ketat dikaitkan, sebahagiannya, kepada Aristoteles, yang menulis satu set karya logik, yang kemudian disusun dan dikembangkan oleh ahli falsafah dan saintis yang berbeda, hingga Abad Pertengahan. Ini boleh dianggap "logik lama".
Kemudian, dalam apa yang dikenali sebagai Zaman Kontemporari, Leibniz, didorong oleh keinginan yang mendalam untuk menubuhkan bahasa universal untuk memberi alasan secara matematik, dan ahli matematik lain seperti Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, terutama mempengaruhi perkembangan logik matematik dengan sumbangan besar , antaranya, Peano Axioms, yang membentuk sifat nombor semula jadi yang sangat diperlukan.
Ahli matematik George Boole dan Georg Cantor juga sangat berpengaruh pada masa ini, dengan sumbangan penting dalam teori teori dan jadual kebenaran, yang menyoroti, antara aspek lain, Boolean Algebra (oleh George Boole) dan Axiom of Choice (oleh George Cantor).
Terdapat juga Augustus De Morgan dengan undang-undang Morgan yang terkenal, yang merenungkan penolakan, konjungsi, gangguan dan syarat antara cadangan, kunci pengembangan Logik Simbol, dan Jhon Venn dengan diagram Venn yang terkenal.
Pada abad ke-20, kira-kira antara tahun 1910 dan 1913, Bertrand Russell dan Alfred North Whitehead menonjol dengan penerbitan Principia mathematica mereka, sekumpulan buku yang mengumpulkan, mengembangkan dan mendalilkan serangkaian aksioma dan hasil logik.
Apa yang dipelajari oleh logik matematik?
Cadangan
Logik matematik bermula dengan kajian proposisi. Proposisi adalah pernyataan bahawa tanpa kekaburan anda boleh mengatakan sama ada benar atau tidak. Berikut adalah contoh cadangan:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- Pada tahun 1930 berlaku gempa bumi di Eropah.
Yang pertama adalah pernyataan yang benar dan yang kedua adalah pernyataan yang salah. Yang ketiga, walaupun orang yang membacanya mungkin tidak mengetahui apakah itu benar atau segera, adalah pernyataan yang dapat diuji dan ditentukan sama ada benar atau tidak.
Berikut adalah contoh ungkapan yang bukan proposisi:
- Dia berambut perang.
- 2x = 6.
- Jom main!
- Adakah anda suka filem
Dalam cadangan pertama, tidak dinyatakan siapa "dia", oleh itu tidak ada yang dapat disahkan. Dalam cadangan kedua, apa yang "x" mewakili belum ditentukan. Sekiranya sebaliknya dikatakan bahawa 2x = 6 untuk beberapa nombor semula jadi x, dalam hal ini ia akan sesuai dengan proposisi, sebenarnya benar, kerana untuk x = 3 itu terpenuhi.
Dua pernyataan terakhir tidak sesuai dengan dalil, kerana tidak ada cara untuk menyangkal atau mengesahkannya.
Dua atau lebih cadangan boleh digabungkan (atau dihubungkan) menggunakan penyambung logik yang terkenal (atau penyambung). Ini adalah:
- Penolakan: "Tidak hujan."
- Kesalahan: "Luisa membeli beg putih atau kelabu."
- Sambungan: "4 2 = 16 dan 2 × 5 = 10".
- Bersyarat: "Sekiranya hujan, maka saya tidak akan ke gim petang ini."
- Dua syarat: "Saya pergi ke gim petang ini jika, dan hanya jika, tidak hujan."
Proposisi yang tidak mempunyai penghubung sebelumnya disebut proposisi sederhana (atau atom). Contohnya, "2 kurang daripada 4" adalah dalil yang mudah. Proposisi yang mempunyai beberapa penghubung disebut proposisi majmuk, seperti "1 + 3 = 4 dan 4 adalah nombor genap."
Pernyataan yang dibuat dengan cara proposisi biasanya panjang, jadi membosankan untuk selalu menulisnya seperti yang dilihat sejauh ini. Atas sebab ini, bahasa simbolik digunakan. Cadangan biasanya dilambangkan dengan huruf besar seperti P, Q, R, S, dll. Dan penghubung simbolik seperti berikut:
Oleh itu
Yang sebaliknya daripada cadangan bersyarat
adalah dalil
Dan pembalikan (atau kontrapositif) cadangan
adalah dalil
Jadual kebenaran
Konsep penting lain dalam logik ialah jadual kebenaran. Nilai kebenaran proposisi adalah dua kemungkinan untuk proposisi: benar (yang akan dilambangkan oleh V dan akan dikatakan bahawa nilai kebenarannya adalah V) atau salah (yang akan dilambangkan oleh F dan akan dikatakan bahawa nilainya betul-betul F).
Nilai kebenaran proposisi majmuk bergantung sepenuhnya pada nilai kebenaran proposisi sederhana yang muncul di dalamnya.
Untuk bekerja secara lebih umum, kita tidak akan mempertimbangkan proposisi tertentu, tetapi pemboleh ubah proposisi, p, q, r, s, dan lain-lain, yang akan mewakili sebarang cadangan.
Dengan pemboleh ubah ini dan penghubung logik, formula cadangan yang terkenal dibentuk, sama seperti cadangan kompaun yang dibina.
Sekiranya setiap pemboleh ubah yang muncul dalam formula proposisi digantikan oleh proposisi, proposisi kompaun diperoleh.
Berikut adalah jadual kebenaran untuk penyambung logik:
Terdapat formula cadangan yang hanya menerima nilai V dalam jadual kebenaran mereka, iaitu, kolom terakhir dari jadual kebenaran mereka hanya mempunyai nilai V. Jenis formula ini dikenali sebagai tautologi. Sebagai contoh:
Berikut adalah jadual kebenaran formula
Formula α dikatakan secara logik menyiratkan formula lain β, jika α benar setiap kali β benar. Maksudnya, dalam tabel kebenaran α dan β, baris di mana α mempunyai V, β juga mempunyai V. Kami hanya berminat pada baris di mana α mempunyai nilai V. Notasi untuk implikasi logik adalah seperti berikut :
Jadual berikut meringkaskan sifat implikasi logik:
Dua formula cadangan dikatakan setara secara logik jika jadual kebenarannya sama. Notasi berikut digunakan untuk menyatakan kesamaan logik:
Jadual berikut meringkaskan sifat kesetaraan logik:
Jenis logik matematik
Terdapat pelbagai jenis logik, terutama jika seseorang mengambil kira logik pragmatik atau tidak formal yang menunjukkan falsafah, antara bidang lain.
Sejauh matematik, jenis logik dapat diringkaskan sebagai:
- Logik formal atau Aristotelian (logik kuno).
- Logik cadangan: bertanggungjawab untuk mengkaji semua perkara yang berkaitan dengan kesahan hujah dan proposisi menggunakan bahasa formal dan simbolik.
- Logik simbolik: tertumpu pada kajian set dan sifatnya, juga dengan bahasa formal dan simbolik, dan sangat berkaitan dengan logik proposisi.
- Logik gabungan: salah satu yang paling baru dikembangkan, melibatkan hasil yang dapat dikembangkan menggunakan algoritma.
- Pengaturcaraan logik: digunakan dalam pelbagai pakej dan bahasa pengaturcaraan.
Kawasan-kawasan
Antara bidang yang menggunakan logik matematik dengan cara yang sangat diperlukan dalam pengembangan penaakulan dan hujah mereka, falsafah yang menonjol, teori set, teori nombor, matematik konstruktif algebra dan bahasa pengaturcaraan.
Rujukan
- Aylwin, CU (2011). Logik, Set dan Nombor. Mérida - Venezuela: Majlis Penerbitan, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengenalan Teori Nombor. DILAYAN.
- Castañeda, S. (2016). Kursus asas teori nombor. Universiti Utara.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Cara Mengembangkan Penaakulan Logik Matematik. Rumah Penerbitan Universiti.
- Zaragoza, AC (sf). Teori nombor Libros Visi Editorial.