- Kaedah petak paling sedikit
- Latihan yang diselesaikan
- Latihan 1
- Penyelesaian
- Latihan 2
- Untuk apa itu?
- Rujukan
Kaedah kuadrat terkecil adalah salah satu aplikasi terpenting dalam menghampiri fungsi. Ideanya adalah untuk mencari lekukan sehingga, mengingat satu set pasangan tertib, fungsi ini menghampiri data. Fungsi boleh berupa garis, lengkung kuadratik, kubik, dll.
Idea kaedah terdiri daripada meminimumkan jumlah kuadrat dari perbezaan dalam ordinat (komponen Y), antara titik yang dihasilkan oleh fungsi yang dipilih dan titik-titik kepunyaan kumpulan data.
Kaedah petak paling sedikit
Sebelum memberikan kaedahnya, kita harus terlebih dahulu jelas mengenai apa maksud "pendekatan yang lebih baik". Katakan kita mencari garis y = b + mx yang paling mewakili sekumpulan titik n, iaitu {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Seperti yang ditunjukkan pada gambar sebelumnya, jika pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh garis y = b + mx, maka untuk x = x1 nilai yang sepadan dari y akan menjadi b + mx1. Walau bagaimanapun, nilai ini berbeza dengan nilai sebenar y, iaitu y = y1.
Ingat bahawa dalam pesawat, jarak antara dua titik diberikan oleh formula berikut:
Dengan ini, untuk menentukan cara memilih garis y = b + mx yang paling sesuai dengan data yang diberikan, nampaknya logik untuk digunakan sebagai kriteria pemilihan garis yang meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara titik dan lurus.
Oleh kerana jarak antara titik (x1, y1) dan (x1, b + mx1) adalah y1- (b + mx1), masalah kami berkurang untuk mencari nombor m dan b sehingga jumlah berikut minimum:
Garis yang memenuhi syarat ini dikenali sebagai «penghampiran garis kuadrat terkecil ke titik (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Sebaik sahaja masalah itu diperoleh, masih tinggal memilih kaedah untuk mencari penghampiran kuadrat terkecil. Sekiranya titik-titik (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) semuanya berada pada garis y = mx + b, kita akan mempunyai titik-titik collinear y:
Dalam ungkapan ini:
Akhirnya, jika titik-titiknya tidak collinear, maka y-Au = 0 dan masalahnya dapat diterjemahkan ke dalam mencari vektor u sehingga norma Euclidean minimum.
Mencari vektor peminimumkan u tidaklah sukar seperti yang anda fikirkan. Oleh kerana A adalah matriks nx2 dan u adalah matriks 2 × 1, kita mempunyai bahawa vektor Au adalah vektor dalam R n dan tergolong dalam gambar A, yang merupakan ruang bawah R n dengan dimensi tidak lebih dari dua.
Kami akan menganggap bahawa n = 3 untuk menunjukkan prosedur mana yang harus diikuti. Sekiranya n = 3, gambar A akan menjadi satah atau garis melalui asal.
Biarkan v menjadi vektor peminimum. Dalam gambar tersebut kita perhatikan bahawa y-Au diminimumkan ketika ortogonal dengan gambar A. Maksudnya, jika v adalah vektor peminimum, maka ia berlaku bahawa:
Kemudian, kita dapat menyatakan perkara di atas dengan cara ini:
Ini hanya boleh berlaku sekiranya:
Akhirnya, untuk menyelesaikan v, kami mempunyai:
Adalah mungkin untuk melakukan ini kerana A t A tidak dapat dipulihkan selagi titik n yang diberikan sebagai data tidak collinear.
Sekarang, jika bukannya mencari garis, kita ingin mencari parabola (yang ungkapannya berupa y = a + bx + cx 2 ) yang akan menjadi penghampiran yang lebih baik untuk titik data n, prosedurnya adalah seperti yang dijelaskan di bawah.
Sekiranya titik data n berada di parabola ini, kita akan mempunyai:
Kemudian:
Begitu juga kita boleh menulis y = Au. Sekiranya semua titik tidak ada dalam parabola, kita mempunyai y-Au berbeza dari nol untuk vektor u dan masalah kita sekali lagi: cari vektor u di R3 sehingga normanya --y-Au-- sekecil mungkin .
Mengulangi prosedur sebelumnya, kita dapat mengetahui bahawa vektor yang dicari adalah:
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Cari garis yang paling sesuai dengan titik (1,4), (-2,5), (3, -1) dan (4,1).
Penyelesaian
Kita mesti:
Kemudian:
Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa garis yang paling sesuai dengan titik diberikan oleh:
Latihan 2
Katakan sebuah objek dijatuhkan dari ketinggian 200 m. Ketika jatuh, langkah-langkah berikut diambil:
Kami tahu bahawa ketinggian objek tersebut, setelah waktu yang berlalu, diberikan oleh:
Sekiranya kita ingin mendapatkan nilai g, kita dapat mencari parabola yang merupakan penghampiran yang lebih baik untuk lima titik yang diberikan dalam jadual, dan dengan demikian kita akan mempunyai bahawa pekali yang menyertai t 2 akan menjadi penghampiran yang wajar untuk (-1/2) g jika ukuran tepat.
Kita mesti:
Dan kemudian:
Jadi titik data sesuai dengan ungkapan kuadratik berikut:
Jadi, anda mesti:
Ini adalah nilai yang cukup dekat dengan betul, iaitu g = 9,81 m / s 2 . Untuk mendapatkan penghitungan g yang lebih tepat, perlu dimulakan dari pemerhatian yang lebih tepat.
Untuk apa itu?
Dalam masalah yang berlaku dalam sains semula jadi atau sosial, lebih mudah untuk menulis hubungan yang wujud antara pemboleh ubah yang berbeza dengan beberapa ungkapan matematik.
Sebagai contoh, dalam ekonomi kita dapat mengaitkan kos (C), pendapatan (I), dan keuntungan (U) dengan formula mudah:
Dalam fizik, kita dapat mengaitkan percepatan yang disebabkan oleh graviti, waktu objek jatuh, dan ketinggian objek oleh undang-undang:
Dalam ungkapan sebelumnya s o adalah ketinggian awal objek tersebut dan v o adalah halaju awalnya.
Walau bagaimanapun, mencari formula seperti ini bukanlah tugas yang mudah; biasanya bergantung kepada profesional yang bertugas untuk bekerja dengan banyak data dan berulang kali melakukan beberapa eksperimen (untuk mengesahkan bahawa hasil yang diperoleh adalah tetap) untuk mencari hubungan antara data yang berbeza.
Cara biasa untuk mencapainya adalah dengan merepresentasikan data yang diperoleh dalam satah sebagai titik dan mencari fungsi berterusan yang mendekati titik tersebut secara optimum.
Salah satu cara untuk mencari fungsi yang "menghampiri terbaik" data yang diberikan adalah dengan kaedah kuasa dua.
Sebagai tambahan, seperti yang kita lihat dalam latihan ini, berkat kaedah ini kita dapat memperoleh penghampiran yang hampir sama dengan pemalar fizikal.
Rujukan
- Aljabar Linear Charles W Curtis. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Teori Kebolehlaksanaan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Richar L Burden & J.Douglas Faires. Analisis Berangka (7ed). Pembelajaran Thompson.
- Stanley I. Grossman. Aplikasi Algebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Aljabar linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO