SIFAT PERSAMAAN - MATEMATIK - 2025

Yang sifat-sifat persamaan merujuk kepada hubungan antara dua objek matematik, sama ada nombor atau pembolehubah. Ia dilambangkan dengan simbol "=", yang selalu berada di antara dua objek ini. Ungkapan ini digunakan untuk menetapkan bahawa dua objek matematik mewakili objek yang sama; dengan kata lain, bahawa dua objek adalah perkara yang sama.

Terdapat kes di mana remeh untuk menggunakan kesamarataan. Sebagai contoh, jelas bahawa 2 = 2. Walau bagaimanapun, ketika datang ke pemboleh ubah tidak lagi sepele dan mempunyai kegunaan khusus. Sebagai contoh, jika kita mempunyai y = x dan sebaliknya x = 7, kita dapat menyimpulkan bahawa y = 7 juga.

Contoh di atas didasarkan pada salah satu sifat persamaan, seperti yang akan anda lihat sebentar lagi. Sifat-sifat ini penting untuk menyelesaikan persamaan (persamaan yang melibatkan pemboleh ubah), yang membentuk bahagian matematik yang sangat penting.

Apakah sifat persamaan?

Harta reflektif

Harta refleksif, dalam hal persamaan, menyatakan bahawa setiap nombor sama dengan dirinya sendiri dan dinyatakan sebagai b = b untuk sebarang nombor nyata b.

Dalam kes persamaan tertentu harta ini nampaknya jelas, tetapi dalam jenis hubungan antara nombor yang lain tidak. Dengan kata lain, tidak semua hubungan nombor sebenar memenuhi harta ini. Contohnya, kes hubungan seperti "kurang daripada" (<); tidak ada bilangan yang kurang daripada dirinya sendiri.

Harta simetri

Harta simetri untuk persamaan mengatakan bahawa jika a = b, maka b = a. Tidak kira urutan apa yang digunakan dalam pemboleh ubah, ia akan dipelihara oleh hubungan persamaan.

Analogi tertentu sifat ini dengan sifat komutatif dapat dilihat dalam hal penambahan. Contohnya, kerana harta ini setara dengan menulis y = 4 atau 4 = y.

Harta transitif

Harta transitif pada persamaan menyatakan bahawa jika a = b dan b = c, maka a = c. Contohnya, 2 + 7 = 9 dan 9 = 6 + 3; oleh itu, oleh sifat transitif kita mempunyai 2 + 7 = 6 + 3.

Aplikasi mudah adalah seperti berikut: anggap Julian berusia 14 tahun dan Mario sama dengan Rosa. Sekiranya Rosa berumur sama dengan Julián, berapa umur Mario?

Di sebalik senario ini, sifat transitif digunakan dua kali. Secara matematik ditafsirkan sebagai berikut: biarkan "a" menjadi usia Mario, "b" zaman Rosa dan "c" zaman Julian. Telah diketahui bahawa b = c dan bahawa c = 14.

Dengan sifat transitif kita mempunyai b = 14; iaitu, Rosa berumur 14 tahun. Oleh kerana a = b dan b = 14, menggunakan sifat transitif sekali lagi kita mempunyai a = 14; iaitu, usia Mario juga 14 tahun.

Harta seragam

Harta seragam adalah bahawa jika kedua-dua sisi persamaan ditambahkan atau didarabkan dengan jumlah yang sama, persamaan itu akan dipelihara. Contohnya, jika 2 = 2, maka 2 + 3 = 2 + 3, yang jelas, kerana 5 = 5. Properti ini paling berguna ketika cuba menyelesaikan persamaan.

Contohnya, andaikan anda diminta menyelesaikan persamaan x-2 = 1. Adalah mudah untuk diingat bahawa menyelesaikan persamaan terdiri daripada menentukan secara jelas pemboleh ubah (atau pemboleh ubah) yang terlibat, berdasarkan nombor tertentu atau pemboleh ubah yang ditentukan sebelumnya.

Kembali ke persamaan x-2 = 1, apa yang harus anda lakukan ialah mencari dengan jelas berapa nilai x. Untuk melakukan ini, pemboleh ubah mesti dibersihkan.

Telah diajarkan secara keliru bahawa dalam hal ini, kerana angka 2 adalah negatif, maka angka tersebut menuju ke sisi lain dari persamaan dengan tanda positif. Tetapi tidak betul untuk mengatakannya seperti itu.

Pada dasarnya, apa yang anda lakukan adalah menggunakan harta seragam, seperti yang akan kita lihat di bawah. Ideanya adalah untuk membersihkan "x"; iaitu, biarkan sahaja di satu sisi persamaan. Secara konvensional biasanya dibiarkan di sebelah kiri.

Untuk tujuan ini, nombor untuk "menghilangkan" adalah -2. Cara untuk melakukannya adalah dengan menambahkan 2, kerana -2 + 2 = 0 dan x + 0 = 0. Untuk melakukan ini tanpa mengubah kesamaan, operasi yang sama mesti diterapkan ke pihak lain.

Ini membolehkan kita merealisasikan harta seragam: kerana x-2 = 1, jika nombor 2 ditambahkan pada kedua sisi persamaan, harta seragam mengatakan bahawa ia tidak diubah. Maka kita mempunyai x-2 + 2 = 1 + 2, yang setara dengan mengatakan bahawa x = 3. Dengan ini persamaan akan diselesaikan.

Begitu juga, jika anda ingin menyelesaikan persamaan (1/5) y-1 = 9, anda boleh terus menggunakan sifat seragam seperti berikut:

Secara lebih umum, pernyataan berikut dapat dibuat:

- Jika ab = cb, maka a = c.

- Sekiranya xb = y, maka x = y + b.

- Sekiranya (1 / a) z = b, maka z = a ×

- Sekiranya (1 / c) a = (1 / c) b, maka a = b.

Pembatalan harta tanah

Harta pembatalan adalah kes tertentu dari harta seragam, dengan mempertimbangkan terutamanya kes pengurangan dan pembahagian (yang, pada dasarnya, juga sesuai dengan penambahan dan pendaraban). Harta ini menangani kes ini secara berasingan.

Contohnya, jika 7 + 2 = 9, maka 7 = 9-2. Atau jika 2y = 6, maka y = 3 (membahagi dengan dua di kedua sisi).

Sesuai dengan kes sebelumnya, pernyataan berikut dapat dibuat melalui harta pembatalan:

- Sekiranya a + b = c + b, maka a = c.

- Sekiranya x + b = y, maka x = yb.

- Sekiranya az = b, maka z = b / a.

- Sekiranya ca = cb, maka a = b.

Harta ganti

Sekiranya kita mengetahui nilai objek matematik, sifat penggantian menyatakan bahawa nilai ini dapat diganti dalam persamaan atau ungkapan apa pun. Sebagai contoh, jika b = 5 dan a = bx, kemudian menggantikan nilai "b" dalam persamaan kedua kita mempunyai nilai = 5x.

Contoh lain adalah yang berikut: jika "m" membahagi "n" dan juga "n" membahagi "m", maka kita mesti mempunyai m = n itu.

Memang, mengatakan bahawa "m" membahagi "n" (atau setara, bahawa "m" adalah pembahagi "n") bermaksud bahawa pembahagian m ÷ n adalah tepat; iaitu, membahagi "m" dengan "n" menghasilkan nombor bulat, bukan perpuluhan. Ini dapat dinyatakan dengan mengatakan bahawa terdapat bilangan bulat "k" sehingga m = k × n.

Oleh kerana "n" juga membahagi "m", maka ada bilangan bulat "p" sehingga n = p × m. Oleh kerana sifat penggantian, kita mempunyai n = p × k × n, dan untuk ini berlaku terdapat dua kemungkinan: n = 0, di mana kita akan mempunyai identiti 0 = 0; op × k = 1, oleh itu identiti n = n.

Katakan "n" bukan sifar. Maka semestinya p × k = 1; oleh itu, p = 1 dan k = 1. Dengan menggunakan sifat penggantian sekali lagi, dengan menggantikan k = 1 dalam persamaan m = k × n (atau setara, p = 1 dalam n = p × m), akhirnya kami memperoleh m = n, itulah yang ingin kami buktikan.

Kekuasaan harta dalam persamaan

Sama seperti sebelumnya dilihat bahawa jika operasi seperti penambahan, pendaraban, pengurangan atau pembahagian dilakukan dalam kedua-dua istilah persamaan, itu akan dipertahankan, dengan cara yang sama operasi lain yang tidak mengubah persamaan dapat diterapkan.

Kuncinya adalah untuk selalu melaksanakannya di kedua-dua sisi persamaan dan memastikan terlebih dahulu bahawa operasi dapat dilakukan. Begitulah kes pemerkasaan; iaitu, jika kedua-dua sisi persamaan dinaikkan ke kekuatan yang sama, kita masih mempunyai persamaan.

Contohnya, kerana 3 = 3, jadi 3 ² = 3 ² (9 = 9). Secara umum, diberi bilangan bulat "n", jika x = y, maka x ⁿ = y ⁿ .

Harta tanah secara seimbang

Ini adalah kes pemberdayaan tertentu dan diterapkan ketika kekuatannya adalah bilangan rasional yang tidak bulat, seperti ½, yang mewakili akar kuadrat. Harta ini menyatakan bahawa jika akar yang sama diterapkan pada kedua-dua sisi persamaan (bila mungkin), persamaan itu akan dipelihara.

Tidak seperti kes sebelumnya, di sini anda mesti berhati-hati dengan pariti akar yang akan digunakan, kerana sudah diketahui bahawa punca genap nombor negatif tidak dapat ditentukan dengan baik.

Sekiranya radikal itu sama rata, tidak ada masalah. Contohnya, jika x ³ = -8, walaupun merupakan persamaan, anda tidak boleh menerapkan akar kuadrat ke kedua sisi, misalnya. Namun, jika anda dapat menerapkan akar kubus (yang lebih senang lagi jika anda ingin mengetahui nilai x secara eksplisit), dengan itu memperoleh x = -2.

Rujukan

1. Aylwin, CU (2011). Logik, Set dan Nombor. Mérida - Venezuela: Majlis Penerbitan, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Ambang.
3. Lira, ML (1994). Simon dan matematik: teks matematik untuk kelas dua: buku pelajar. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Kursus Matematik ke-3. Progreso Editorial.
5. Segovia, BR (2012). Aktiviti dan permainan matematik dengan Miguel dan Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematik Ke-2. Progreso Editorial.