PERATURAN SIMPSON: FORMULA, BUKTI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2025

Peraturan Simpson adalah kaedah untuk mengira, kira-kira, integral pasti. Ini didasarkan pada membagi selang integrasi menjadi sebilangan sub-selang yang sama jaraknya.

Nilai ekstrem dua sub selang berturut-turut menentukan tiga titik, yang mana parabola, yang persamaannya adalah polinomial darjah kedua, sesuai.

Gambar 1. Dalam kaedah Simpson, selang integrasi dibahagikan kepada bilangan selang genap dengan lebar yang sama. Fungsi ini dihampiri oleh parabola dalam setiap 2 sub selang dan integral dihampirkan dengan jumlah kawasan di bawah parabolas. Sumber: upv.es.

Kemudian kawasan di bawah lengkung fungsi dalam dua selang berturut-turut dihampiri dengan luas polinomial interpolasi. Menambah sumbangan ke kawasan di bawah parabola dari semua sub-selang berturut-turut, kami mempunyai nilai anggaran integral.

Sebaliknya, kerana kamiran parabola dapat dihitung secara aljabar secara tepat, maka adalah mungkin untuk mencari formula analitik untuk nilai anggaran integral yang pasti. Ia dikenali sebagai formula Simpson.

Kesalahan hasil perkiraan yang diperoleh berkurang kerana bilangan subbahagian n lebih besar (di mana n adalah nombor genap).

Satu ungkapan akan diberikan di bawah yang memungkinkan untuk mengira batas atas kesalahan penghampiran ke I integral, apabila partisi dari n interintervals biasa dari jumlah selang telah dibuat.

Formula

Selang integrasi dibahagikan kepada n subinterval dengan n menjadi bilangan bulat genap. Lebar setiap subdivisi akan:

h = (b - a) / n

Dengan cara ini, partition dibuat selama selang waktu:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Di mana X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Rumus yang memungkinkan untuk menghampiri integral pasti fungsi berterusan, dan lebih baik lancar, dalam selang waktu adalah:

Demonstrasi

Untuk mendapatkan formula Simpson, pada setiap subinterval fungsi f (X) didekati oleh polinomial darjah kedua (X) (parabola) yang melewati tiga titik:; dan.

Kemudian kamiran p (x) polinomial dikira di mana ia menghampiri kamiran fungsi f (X) dalam selang itu.

Rajah 2. Grafik untuk menunjukkan formula Simpson. Sumber: F. Zapata.

Pekali polinomial interpolasi

Persamaan parabola p (X) mempunyai bentuk umum: p (X) = AX ² + BX + C. Oleh kerana parabola melewati titik Q yang ditunjukkan dengan warna merah (lihat gambar), maka pekali A, B, C ditentukan dari sistem persamaan berikut:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Dapat dilihat bahawa pekali C ditentukan. Untuk menentukan pekali A, kita menambah persamaan pertama dan ketiga yang memperoleh:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Kemudian nilai C diganti dan A dibersihkan, meninggalkan:

A = / (2 jam ² )

Untuk menentukan pekali B, persamaan ketiga dikurangkan dari yang pertama dan B diselesaikan, memperoleh:

B = = 2 jam.

Ringkasnya, polinomial darjah kedua p (X) yang melewati titik Qi, Qi + 1 dan Qi + 2 mempunyai pekali:

A = / (2 jam ² )

B = = 2 jam

C = f (Xi + 1)

Pengiraan kamiran dalam

Pengiraan anggaran kamiran dalam

Seperti yang telah disebutkan, partisi {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} dibuat pada selang integrasi total dengan langkah h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, di mana n ialah nombor genap.

Kesalahan anggaran

Perhatikan bahawa ralat berkurang dengan kekuatan keempat bilangan subdivisi dalam selang. Sebagai contoh, jika anda beralih dari n subdivisi ke 2n, maka ralatnya berkurang dengan faktor 1/16.

Had atas ralat yang diperoleh melalui pendekatan Simpson dapat diperoleh dari formula yang sama, menggantikan derivatif keempat dengan nilai mutlak maksimum derivatif keempat dalam selang waktu.

Contoh Berfungsi

- Contoh 1

Pertimbangkan fungsi f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Cari kamiran pasti fungsi f (X) pada selang menggunakan kaedah Simpson dengan dua subbahagian (n = 2).

Penyelesaian

Kami mengambil n = 2. Had integrasi adalah = -1 dan b = -2, jadi partisi kelihatan seperti ini:

X0 = -1; X1 = 0 dan X2 = +1.

Oleh itu, formula Simpson mengambil bentuk berikut:

Gambar 3. Contoh penyatuan berangka dengan peraturan Simpson menggunakan perisian. Sumber: F. Zapata.

Rujukan

1. Casteleiro, JM 2002. Kalkulus Komprehensif (Edisi Bergambar). Madrid: Pengarang ESIC.
2. UPV. Kaedah Simpson. Universiti politeknik Valencia. Dipulihkan dari: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Kalkulus Edisi Kesembilan. Dewan Prentice.
4. Wikipedia. Peraturan Simpson. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolasi polinomial Lagrange. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com