TEOREMA KEBERADAAN DAN KEUNIKAN: BUKTI, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2025

The kewujudan dan keunikan teorem menetapkan syarat yang perlu dan mencukupi untuk persamaan pembezaan tertib pertama, dengan syarat awal yang diberikan, mempunyai penyelesaian dan penyelesaian yang menjadi satu-satunya.

Walau bagaimanapun, teorema tidak memberikan teknik atau petunjuk bagaimana mencari jalan penyelesaian seperti itu. Teorema keberadaan dan keunikan juga diperluas ke persamaan pembezaan orde tinggi dengan keadaan awal, yang dikenali sebagai masalah Cauchy.

Rajah 1. Persamaan pembezaan dengan keadaan awal dan penyelesaiannya ditunjukkan. Teorema Keberadaan dan Keunikan menjamin bahawa ia adalah satu-satunya jalan keluar yang mungkin.

Pernyataan rasmi mengenai teorema keberadaan dan keunikan adalah seperti berikut:

"Untuk persamaan pembezaan y '(x) = f (x, y) dengan keadaan awal y (a) = b, terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian di kawasan segi empat tepat dari bidang XY yang mengandungi titik (a, b), jika f (x, y) berterusan di rantau itu. Dan jika terbitan separa f berkaitan dengan y: g = ∂f / ∂y adalah berterusan di kawasan segiempat sama, maka penyelesaiannya unik dalam lingkungan titik (a, b) yang terdapat di wilayah kesinambungan fy g. "

Kegunaan teorema ini adalah yang pertama untuk mengetahui wilayah-wilayah satah XY di mana penyelesaian boleh wujud dan juga, mengetahui apakah penyelesaian yang dijumpai adalah satu-satunya yang mungkin atau jika ada yang lain.

Perhatikan bahawa sekiranya keadaan keunikan tidak dipenuhi, teorema tidak dapat meramalkan berapa banyak penyelesaian yang ada pada masalah Cauchy: mungkin itu satu, dua, atau lebih.

Bukti adanya dan teorema keunikan

Rajah 2. Charles Émile Picard (1856-1941) dikreditkan dengan salah satu bukti pertama mengenai Teorema Keberadaan dan Keunikan. Sumber: Wikimedia Commons.

Untuk teorema ini, dua bukti yang mungkin diketahui, salah satunya adalah bukti Charles Émile Picard (1856-1941) dan yang lain disebabkan oleh Giuseppe Peano (1858-1932) berdasarkan karya Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Perlu diperhatikan bahawa pemikiran matematik paling cemerlang abad kesembilan belas mengambil bahagian dalam bukti teorem ini, sehingga dapat disadarkan bahawa kedua-duanya tidak mudah.

Untuk membuktikan teorema secara rasmi, pertama sekali perlu dibuat satu siri konsep matematik yang lebih maju, seperti fungsi jenis Lipschitz, ruang Banach, teorema keberadaan Carathéodory, dan beberapa yang lain, yang berada di luar ruang lingkup artikel.

Sebilangan besar persamaan pembezaan yang dikendalikan dalam fizik menangani fungsi berterusan di kawasan yang menarik, oleh itu kita akan mengehadkan diri untuk menunjukkan bagaimana teorema diterapkan dalam persamaan sederhana.

Contoh

- Contoh 1

Mari pertimbangkan persamaan pembezaan berikut dengan keadaan awal:

y '(x) = - y; dengan y (1) = 3

Adakah terdapat penyelesaian untuk masalah ini? Adakah satu-satunya jalan keluar yang mungkin?

Jawapan

Pertama, keberadaan penyelesaian persamaan pembezaan dinilai dan ia juga memenuhi syarat awal.

Dalam contoh ini f (x, y) = - dan keadaan kewujudan memerlukan mengetahui jika f (x, y) berterusan di suatu kawasan satah XY yang mengandungi titik koordinat x = 1, y = 3.

Tetapi f (x, y) = - y adalah fungsi afin, yang berterusan dalam domain nombor nyata dan wujud di seluruh julat nombor nyata.

Oleh itu disimpulkan bahawa f (x, y) adalah berterusan dalam R ² , jadi teorema menjamin adanya sekurang-kurangnya satu penyelesaian.

Mengetahui hal ini, adalah perlu untuk menilai sama ada penyelesaiannya unik atau sebaliknya terdapat lebih dari satu. Untuk ini, perlu dikira terbitan separa f berkenaan dengan pemboleh ubah y:

Kemudian g (x, y) = -1 yang merupakan fungsi yang berterusan, yang juga ditakrifkan untuk semua R ² dan juga berterusan di sana. Ini menunjukkan bahawa teorema kewujudan dan keunikan menjamin bahawa masalah nilai awal ini mempunyai penyelesaian yang unik, walaupun tidak memberitahu kita apa itu.

- Contoh 2

Pertimbangkan persamaan pembezaan biasa pertama dengan keadaan awal:

y '(x) = 2√y; dan (0) = 0.

Adakah terdapat penyelesaian y (x) untuk masalah ini? Sekiranya demikian, tentukan apakah ada satu atau lebih daripada satu.

Balas

Kami menganggap fungsi f (x, y) = 2√y. Fungsi f didefinisikan hanya untuk y≥0, kerana kita tahu bahawa nombor negatif tidak mempunyai punca sebenarnya. Selanjutnya f (x, y) berterusan di satah separuh atas R ² termasuk paksi X, jadi teorema keberadaan dan keunikan menjamin sekurang-kurangnya satu penyelesaian di wilayah tersebut.

Sekarang keadaan awal x = 0, y = 0 berada di pinggir kawasan penyelesaian. Kemudian kita mengambil turunan separa f (x, y) berkenaan dengan y:

∂f / ∂y = 1 / √y

Dalam kes ini fungsi tidak ditentukan untuk y = 0, tepat di mana keadaan awalnya.

Apa yang dinyatakan oleh teorema kepada kita? Ini memberitahu kita bahawa walaupun kita tahu bahawa terdapat sekurang-kurangnya satu penyelesaian di satah separuh atas paksi X, termasuk sumbu X, kerana syarat keunikan tidak dipenuhi, tidak ada jaminan bahawa akan ada penyelesaian yang unik.

Ini bermaksud bahawa mungkin ada satu atau lebih daripada satu penyelesaian di wilayah kesinambungan f (x, y). Dan seperti biasa, teorema tidak memberitahu kita apa yang sebenarnya.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Selesaikan masalah Cauchy dalam Contoh 1:

y '(x) = - y; dengan y (1) = 3.

Cari fungsi y (x) yang memenuhi persamaan pembezaan dan keadaan awal.

Penyelesaian

Dalam Contoh 1 ditentukan bahawa masalah ini mempunyai jalan keluar dan juga unik. Untuk mencari penyelesaiannya, perkara pertama yang perlu diberi perhatian ialah persamaan pembezaan darjah pertama bagi pemboleh ubah yang boleh dipisahkan, yang ditulis seperti berikut:

Membahagi antara dan dalam kedua-dua anggota untuk memisahkan pemboleh ubah yang kita ada:

Integral tak tentu berlaku di kedua-dua anggota:

Menyelesaikan integriti tidak tentu yang kita ada:

di mana C adalah pemalar perpaduan yang ditentukan oleh keadaan awal:

Menggantikan nilai C dan menyusunnya tetap:

Menggunakan sifat logaritma berikut:

Ungkapan di atas boleh ditulis semula seperti ini:

Fungsi eksponensial dengan asas e di kedua-dua anggota digunakan untuk memperoleh:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Yang bersamaan dengan:

y = 3e e ^-x

Ini adalah penyelesaian unik bagi persamaan y '= -y dengan y (1) = 3. Graf penyelesaian ini ditunjukkan dalam Rajah 1.

- Latihan 2

Cari dua penyelesaian untuk masalah yang ditimbulkan dalam Contoh 2:

y '(x) = 2√ (y); dan (0) = 0.

Penyelesaian

Ia juga merupakan persamaan pemboleh ubah yang dapat dipisahkan, yang, ditulis dalam bentuk pembezaan, kelihatan seperti ini:

dy / √ (y) = 2 dx

Mengambil bilangan tidak tetap dalam kedua-dua anggota tetap:

2 √ (y) = 2 x + C

Oleh kerana kita tahu bahawa y≥0 di wilayah penyelesaian kita mempunyai:

y = (x + C) ²

Tetapi kerana keadaan awal x = 0, y = 0 mesti dipenuhi, maka pemalar C adalah sifar dan penyelesaian berikut tetap:

y (x) = x ² .

Tetapi penyelesaian ini tidak unik, fungsi y (x) = 0 juga merupakan penyelesaian untuk masalah yang ditimbulkan. Teorema keberadaan dan keunikan yang diterapkan pada masalah ini dalam Contoh 2 telah meramalkan bahawa terdapat lebih dari satu penyelesaian.

Rujukan

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Teori Persamaan Pembezaan Biasa, New York: McGraw-Hill.
2. Ensiklopedia Matematik. Teorema Cauchy-Lipschitz. Dipulihkan dari: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des pendekatan berturut-turut aux équations différentielles ordaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des science. Jilid 116, 1894, hlm. 454-457. Dipulihkan dari: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Kaedah perkiraan berturut-turut Picard. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema Picard-Lindelöf. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Persamaan Pembezaan Elemen dengan Aplikasi. Prentice Hall.