TEOREMA MOIVRE: LATIHAN BUKTI DAN PENYELESAIAN - MATEMATIK - 2025

The teorem Moivre digunakan algebra proses asas, seperti kuasa dan mengeluarkan akar dalam nombor kompleks. Teorema tersebut dinyatakan oleh ahli matematik Perancis terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan nombor kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat perkaitan ini melalui ungkapan sinus dan kosinus. Ahli matematik ini menghasilkan sejenis formula yang memungkinkan untuk menaikkan nombor kompleks z menjadi daya n, yang merupakan bilangan bulat positif lebih besar daripada atau sama dengan 1.

Apakah teorema Moivre?

Teorema Moivre menyatakan perkara berikut:

Sekiranya kita mempunyai nombor kompleks dalam bentuk kutub z = r _Ɵ , di mana r adalah modul nombor kompleks z, dan sudut Ɵ disebut amplitud atau argumen bagi nombor kompleks dengan 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, untuk mengira n- kekuatannya tidak perlu untuk melipatgandakannya dengan sendirinya; iaitu tidak perlu membuat produk berikut:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-kali.

Sebaliknya, teorema mengatakan bahawa, ketika menulis z dalam bentuk trigonometri, untuk mengira daya n kita meneruskan seperti berikut:

Sekiranya z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) maka z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Contohnya, jika n = 2, maka z ² = r ² . Sekiranya n = 3, maka z ³ = z ² _* z. Juga:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Dengan cara ini, nisbah trigonometri sinus dan kosinus untuk gandaan sudut dapat diperoleh, asalkan nisbah sudut trigonometri diketahui.

Dengan cara yang sama, ia dapat digunakan untuk mencari ungkapan yang lebih tepat dan kurang membingungkan bagi akar n -th nombor kompleks z, sehingga z ⁿ = 1.

Untuk membuktikan teorema Moivre, prinsip induksi matematik digunakan: jika bilangan bulat "a" mempunyai sifat "P", dan jika untuk bilangan bulat "n" lebih besar daripada "a" yang mempunyai sifat "P" Ini memenuhi bahawa n + 1 juga memiliki sifat "P", maka semua bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan "a" memiliki sifat "P".

Demonstrasi

Oleh itu, pembuktian teorema dilakukan dengan langkah-langkah berikut:

Asas induktif

Ia pertama kali diperiksa untuk n = 1.

Oleh kerana z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , teorema berlaku untuk n = 1.

Hipotesis induktif

Rumus dianggap benar untuk beberapa bilangan bulat positif, iaitu, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Pengesahan

Ia terbukti benar untuk n = k + 1.

Oleh kerana z ^{k + 1} = z ^k _* z, maka z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Kemudian ungkapan digandakan:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Sejenak faktor r ^{k + 1} tidak diambil kira , dan faktor biasa i diambil:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Oleh kerana i ² = -1, kita menggantikannya dalam ungkapan dan kita mendapat:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Sekarang bahagian sebenar dan bahagian khayalan diperintahkan:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Untuk mempermudah ungkapan, identiti trigonometri dari jumlah sudut digunakan untuk kosinus dan sinus, yang:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Dalam kes ini, pemboleh ubah adalah sudut Ɵ dan kƟ. Dengan menggunakan identiti trigonometri, kami mempunyai:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Dengan cara ini, ungkapannya adalah:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Oleh itu dapat ditunjukkan bahawa hasilnya adalah benar untuk n = k + 1. Dengan prinsip induksi matematik, dapat disimpulkan bahawa hasilnya adalah benar untuk semua bilangan bulat positif; iaitu, n ≥ 1.

Bilangan bulat negatif

Teorema Moivre juga diterapkan apabila n ≤ 0. Mari kita anggap integer negatif «n»; maka "n" boleh ditulis sebagai "-m", iaitu, n = -m, di mana "m" adalah bilangan bulat positif. Oleh itu:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Untuk mendapatkan eksponen «m» secara positif, ungkapan ditulis terbalik:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Sekarang, digunakan bahawa jika z = a + b * i adalah nombor kompleks, maka 1 ÷ z = ab * i. Oleh itu:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Dengan menggunakan cos (x) = cos (-x) dan itu -sen (x) = sin (-x), kita mempunyai:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Oleh itu, dapat dikatakan bahawa teorema berlaku untuk semua nilai integer "n".

Latihan yang diselesaikan

Pengiraan daya positif

Salah satu operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk kutub mereka adalah pendaraban dengan dua daripadanya; dalam kes itu modul digandakan dan argumen ditambahkan.

Sekiranya anda mempunyai dua nombor kompleks z _{1 dan} z ₂ dan anda ingin mengira (z ₁ * z ₂ ) ² , maka anda meneruskan seperti berikut:

z ₁ z ₂ = *

Harta agihan berlaku:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Mereka dikelompokkan, mengambil istilah "i" sebagai faktor umum ungkapan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Oleh kerana i ² = -1, ia digantikan dengan ungkapan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Istilah sebenar digabungkan dengan nyata, dan khayalan dengan khayalan:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Akhirnya, sifat trigonometri berlaku:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Kesimpulannya:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Latihan 1

Tuliskan nombor kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, dengan menggunakan teorema Moivre, hitungkan z ⁴ .

Penyelesaian

Nombor kompleks z = -2 -2i dinyatakan dalam bentuk segi empat tepat z = a + bi, di mana:

a = -2.

b = -2.

Mengetahui bahawa bentuk kutub adalah z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), kita perlu menentukan nilai modulus "r" dan nilai argumen "Ɵ". Oleh kerana r = √ (a² + b²), nilai yang diberikan diganti:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai «Ɵ», bentuk segi empat tepat digunakan, yang diberikan oleh formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Oleh kerana tan (Ɵ) = 1 dan kita mempunyai <0, maka kita mempunyai:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Oleh kerana nilai «r» dan «Ɵ» telah diperoleh, nombor kompleks z = -2 -2i dapat dinyatakan dalam bentuk kutub dengan menggantikan nilai:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Sekarang kita menggunakan teorema Moivre untuk mengira z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Latihan 2

Cari produk nombor kompleks dengan menyatakannya dalam bentuk kutub:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Kemudian hitung (z1 * z2) ².

Penyelesaian

Pertama produk nombor yang diberi terbentuk:

z ₁ z ₂ = *

Kemudian modul dikalikan satu sama lain, dan argumen ditambahkan:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Ungkapan dipermudahkan:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Akhirnya, teorema Moivre berlaku:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Pengiraan kuasa negatif

Untuk membahagi dua nombor kompleks z _{1 dan} z ₂ dalam bentuk kutubnya, modulus dibahagi dan argumen dikurangkan. Oleh itu, hasilnya adalah z ₁ ÷ z ₂ dan dinyatakan seperti berikut:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Seperti dalam kes sebelumnya, jika kita ingin mengira (z1 ÷ z2) ³, pembahagian dilakukan terlebih dahulu dan kemudian teorem Moivre digunakan.

Latihan 3

Dadu:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

hitungkan (z1 ÷ z2) ³.

Penyelesaian

Mengikuti langkah-langkah yang dinyatakan di atas dapat disimpulkan bahawa:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Rujukan

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
2. Croucher, M. (nd). Dari Teorema Moivre untuk Trig Identities. Projek Demonstrasi Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Ensiklopedia Matematik.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra dan Trigonometri.
5. Pérez, CD (2010). Pendidikan Pearson.
6. Stanley, G. (nd). Aljabar linear. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.