HAD FERMAT: APA YANG TERDIRI DAN LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

The had Fermat adalah kaedah berangka digunakan untuk mendapatkan nilai kecerunan garis, yang tangen ke fungsi pada titik tertentu dalam domainnya. Ia juga digunakan untuk mendapatkan titik kritikal fungsi. Ungkapannya ditakrifkan sebagai:

Sudah jelas bahawa Fermat tidak mengetahui asas-asas derivasi, namun kajiannya mendorong sekumpulan ahli matematik untuk bertanya mengenai garis tangen dan penerapannya dalam kalkulus.

Apakah had Fermat?

Ini terdiri dari pendekatan 2 titik, yang dalam keadaan sebelumnya membentuk garis pemisah ke fungsi dengan persimpangan dalam pasangan nilai.

Dengan mendekati pemboleh ubah ke nilai "a", pasangan mata terpaksa bertemu. Dengan cara ini, garis pemisah sebelumnya menjadi bersinggungan dengan titik (a; f (a)).

Nilai bagi hasil (x - a), ketika dinilai pada titik "a", menghasilkan ketidaktentuan had jenis K antara sifar (K / 0). Di mana melalui teknik pemfaktoran yang berbeza, ketidakpastian ini dapat dipecahkan.

Teknik operasi yang paling biasa digunakan adalah:

-Perbezaan petak (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Kewujudan elemen (a - b) menyiratkan dalam kebanyakan kes faktor yang mempermudah ungkapan (x - a) dalam had had Fermat.

- Penyelesaian petak (kapak ² + bx); Setelah melengkapkan petak, binomial Newton diperoleh, di mana salah satu daripada 2 faktornya dipermudah dengan ungkapan (x - a), memecahkan ketidakpastian.

- Konjugasi (a + b) / (a ​​+ b); Mengalikan dan membahagi ungkapan dengan konjugasi beberapa faktor boleh sangat membantu untuk memecahkan ketidakpastian.

- Faktor biasa; Dalam banyak kes, hasil operasi pembilang had Fermat f (x) - f (a) menyembunyikan faktor (x - a) yang diperlukan untuk faktor. Untuk ini, diperhatikan dengan teliti elemen mana yang diulang dalam setiap faktor ungkapan.

Penggunaan had Fermat untuk maksimum dan minimum

Walaupun had Fermat tidak membezakan antara maksimum dan minimum, kerana hanya dapat mengenal pasti titik kritikal sesuai dengan definisinya, ia biasanya digunakan dalam pengiraan puncak atau lantai fungsi di dalam pesawat.

Pengetahuan asas mengenai teori grafik fungsi bersama dengan teorema ini mungkin mencukupi untuk menetapkan nilai maksimum dan minimum antara fungsi. Sebenarnya titik-titik infleksi dapat didefinisikan melalui teorem nilai min selain teorema Fermat.

Perumpamaan kubik

Paradoks yang paling ketara bagi Fermat datang dari mempelajari parabola kubik. Oleh kerana perhatiannya ditujukan kepada garis singgung fungsi untuk titik tertentu, dia mengalami masalah menentukan garis tangen pada titik pemesongan fungsi.

Nampaknya mustahil untuk menentukan garis singgung ke satu titik. Maka bermulalah penyelidikan yang akan menimbulkan perbezaan kalkulus. Ditakrifkan kemudian oleh eksponen penting matematik.

Maximus dan minimum

Kajian maksimum dan minimum fungsi merupakan tantangan untuk matematik klasik, di mana kaedah praktikal dan praktikal diperlukan untuk menentukannya.

Fermat mencipta kaedah berdasarkan operasi nilai pembezaan kecil, yang setelah proses pemfaktoran, dihilangkan, memberi jalan kepada nilai maksimum dan minimum yang dicari.

Pemboleh ubah ini harus dinilai dalam ungkapan asli untuk menentukan koordinat titik tersebut, yang bersama-sama dengan kriteria analisis akan didefinisikan sebagai maksimum atau minimum ungkapan.

Kaedah

Dalam metodenya, Fermat menggunakan simbolisme literal Vieta, yang terdiri dalam penggunaan huruf besar eksklusif: vokal, untuk tidak diketahui, dan konsonan untuk jumlah yang diketahui.

Untuk nilai-nilai radikal, Fermat menerapkan proses tertentu, yang kemudian akan digunakan dalam pemfaktoran batas-batas ketidakpastian yang tidak terbatas antara tak terhingga.

Proses ini terdiri daripada membahagikan setiap ungkapan dengan nilai pembezaan yang digunakan. Dalam kes Fermat, dia menggunakan huruf E, di mana setelah membahagi dengan kekuatan tertinggi E, nilai titik kritis yang dicari menjadi jelas.

Sejarah

Had Fermat sebenarnya adalah salah satu sumbangan paling terkenal dalam senarai panjang ahli matematik. Pengajiannya bermula dari nombor perdana hingga pada dasarnya mewujudkan asas untuk pengiraan.

Pada gilirannya, Fermat terkenal dengan eksentriknya sehubungan dengan hipotesisnya. Adalah lumrah baginya untuk memberikan semacam cabaran kepada ahli matematik lain pada masa itu, ketika dia sudah memiliki jalan keluar atau bukti.

Dia mempunyai banyak pertikaian dan persekutuan dengan ahli matematik yang berbeza pada masa itu, yang suka atau benci bekerja dengannya.

Teorema terakhirnya adalah yang utama bertanggung jawab atas kemasyhurannya di seluruh dunia, di mana dia menyatakan bahawa generalisasi teorem Pythagoras untuk sebarang tahap "n" adalah mustahil. Dia mengaku memiliki bukti yang sah, tetapi meninggal dunia sebelum membuatnya diumumkan.

Demonstrasi ini harus ditunggu sekitar 350 tahun. Pada tahun 1995, ahli matematik Andrew Wiles dan Richard Taylor, mengakhiri kegelisahan yang ditinggalkan oleh Fermat, membuktikan bahawa dia benar melalui bukti teorem terakhirnya.

Latihan

Latihan 1

Tentukan cerun garis singgung ke lengkung f (x) = x ² pada titik (4, 16)

Mengganti ungkapan had Fermat yang kita ada:

Faktor (x - 4) dipermudahkan

Semasa menilai anda mempunyai

M = 4 + 4 = 8

Latihan 2

Tentukan titik kritikal ungkapan f (x) = x ² + 4x menggunakan had Fermat

Pengelompokan unsur-unsur strategik dilakukan, bertujuan untuk mengelompokkan pasangan XX ₀

Petak paling sedikit dikembangkan

Perhatikan faktor biasa XX _{0 dan ekstrak}

Ungkapan itu kini dapat dipermudahkan dan ketidakpastian dihancurkan

Pada titik minimum diketahui bahawa cerun garis tangen sama dengan sifar. Dengan cara ini kita dapat menyamakan ungkapan yang didapati menjadi sifar dan menyelesaikan nilai X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Untuk mendapatkan koordinat yang hilang, hanya perlu menilai titik dalam fungsi asal

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Titik kritikal adalah P (-2, -4).

Rujukan

1. Analisis Sebenar. Pendekatan Bersejarah Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 Ogos. 1999.
2. Kerjaya Matematik Pierre de Fermat, 1601-1665: Edisi Kedua. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 Jun. 2018
3. Dari Fermat hingga Minkowski: Ceramah mengenai Teori Nombor dan Perkembangan Sejarahnya. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Teorema Terakhir Fermat: Pengenalan Genetik untuk Teori Nombor Algebra. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 Jan. 2000
5. Fermat Days 85: Matematik untuk Pengoptimuman. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 Jan. 1986