TEOREMA CHEBYSHOV: APA ITU, APLIKASI DAN CONTOH - MATEMATIK - 2025

The teorem Chebyshev (Chebyshev atau ketidaksamaan) adalah salah satu keputusan penting klasik sebahagian besar teori kebarangkalian. Ini memungkinkan untuk menganggarkan kebarangkalian peristiwa yang dijelaskan dalam bentuk pemboleh ubah rawak X, dengan memberi kita batas yang tidak bergantung pada taburan pemboleh ubah rawak tetapi pada varians X.

Teorema ini dinamakan sempena ahli matematik Rusia Pafnuty Chebyshov (juga ditulis sebagai Chebychev atau Tchebycheff) yang, walaupun bukan yang pertama menyatakan teorema, adalah yang pertama memberikan bukti pada tahun 1867.

Ketidaksamaan ini, atau yang disebabkan oleh ciri-cirinya disebut ketidaksamaan Chebyshov, digunakan terutamanya untuk mengira kebarangkalian dengan mengira ketinggian.

Apa itu terdiri?

Dalam kajian teori kebarangkalian, berlaku bahawa jika fungsi taburan pemboleh ubah rawak X diketahui, nilai jangkaannya-atau jangkaan matematik E (X) - dan variansnya Var (X) dapat dikira, asalkan jumlah tersebut ada. Walau bagaimanapun, kebalikannya tidak semestinya benar.

Maksudnya, mengetahui E (X) dan Var (X) tidak semestinya mungkin untuk memperoleh fungsi pembahagian X, oleh itu kuantiti seperti P (-X-> k) untuk beberapa k> 0 sangat sukar diperoleh. Tetapi berkat ketidaksamaan Chebyshov adalah mungkin untuk mengira kebarangkalian pemboleh ubah rawak.

Teorema Chebyshov memberitahu kita bahawa jika kita mempunyai pemboleh ubah rawak X di atas ruang sampel S dengan fungsi kebarangkalian p, dan jika k> 0, maka:

Aplikasi dan contoh

Di antara banyak aplikasi teorema Chebyshov, perkara berikut dapat disebutkan:

Mengehadkan kebarangkalian

Ini adalah aplikasi yang paling umum dan digunakan untuk memberikan batas atas untuk P (-XE (X) -≥k) di mana k> 0, hanya dengan varians dan jangkaan pemboleh ubah rawak X, tanpa mengetahui fungsi kebarangkalian .

Contoh 1

Anggaplah bahawa jumlah produk yang dikeluarkan di sebuah syarikat selama seminggu adalah pemboleh ubah rawak dengan purata 50.

Sekiranya varians seminggu pengeluaran diketahui sama dengan 25, maka apa yang dapat kita katakan tentang kebarangkalian bahawa minggu ini pengeluarannya berbeza lebih dari 10 dari rata-rata?

Penyelesaian

Menerapkan ketidaksamaan Chebyshov kita mempunyai:

Dari ini kita dapat mengetahui bahawa kebarangkalian bahawa pada minggu pengeluaran jumlah artikel melebihi rata-rata lebih dari 10 adalah paling banyak 1/4.

Bukti Teorema Had

Ketaksamaan Chebyshov memainkan peranan penting dalam membuktikan teorema had yang paling penting. Sebagai contoh, kami mempunyai perkara berikut:

Undang-undang yang lemah dalam jumlah besar

Undang-undang ini menyatakan bahawa diberi urutan X1, X2,…, Xn,… bagi pemboleh ubah rawak bebas dengan taburan purata yang sama E (Xi) = μ dan varians Var (X) = σ ² , dan sampel min yang diketahui:

Kemudian untuk k> 0 kita mempunyai:

Atau, bersamaan:

Demonstrasi

Mari kita perhatikan perkara berikut:

Oleh kerana X1, X2,…, Xn tidak bersandar, ia menunjukkan bahawa:

Oleh itu, adalah mungkin untuk menyatakan perkara berikut:

Kemudian, dengan menggunakan teorema Chebyshov, kami mempunyai:

Akhirnya, teorema itu terhasil dari fakta bahawa had di sebelah kanan adalah sifar ketika n menghampiri infiniti.

Harus diingat bahawa ujian ini dibuat hanya untuk kes di mana varians Xi wujud; iaitu, ia tidak menyimpang. Oleh itu, kita melihat bahawa teorema itu selalu benar sekiranya E (Xi) wujud.

Teorema had Chebyshov

Sekiranya X1, X2,…, Xn,… adalah urutan pemboleh ubah rawak bebas sehingga terdapat beberapa C <infinity, seperti Var (Xn) ≤ C untuk semua n semula jadi, maka untuk k> 0:

Demonstrasi

Oleh kerana urutan varians dibatasi secara seragam, kita mempunyai Var (Sn) ≤ C / n, untuk semua n semula jadi. Tetapi kita tahu bahawa:

Membuat n cenderung ke arah tak terhingga, hasil berikut:

Oleh kerana kebarangkalian tidak boleh melebihi nilai 1, hasil yang diinginkan diperoleh. Sebagai akibat dari teorema ini, kita dapat menyebutkan kes Bernoulli yang khusus.

Sekiranya eksperimen diulang n kali secara bebas dengan dua kemungkinan hasil (kegagalan dan kejayaan), di mana p adalah kebarangkalian kejayaan dalam setiap eksperimen dan X adalah pemboleh ubah rawak yang mewakili jumlah kejayaan yang diperoleh, maka untuk setiap k> 0 kamu perlu:

Saiz sampel

Dari segi varians, ketaksamaan Chebyshov memungkinkan kita mencari ukuran sampel n yang cukup untuk menjamin bahawa kebarangkalian -Sn-μ -> = k berlaku sekecil yang diinginkan, yang memungkinkan penghampiran rata-rata.

Secara khusus, biarkan X1, X2,… Xn menjadi sampel pemboleh ubah rawak bebas bersaiz n dan anggap E (Xi) = μ dan variansnya σ ² . Oleh itu, oleh ketidaksamaan Chebyshov kita mempunyai:

Contohnya

Katakan bahawa X1, X2,… Xn adalah contoh pemboleh ubah rawak bebas dengan taburan Bernoulli, sehingga mereka mengambil nilai 1 dengan kebarangkalian p = 0.5.

Berapakah ukuran sampel untuk dapat menjamin bahawa kebarangkalian bahawa perbezaan antara min aritmetik Sn dan nilai jangkaannya (melebihi lebih daripada 0.1), kurang dari atau sama dengan 0.01?

Penyelesaian

Kita mempunyai E (X) = μ = p = 0,5 dan Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Oleh ketidaksamaan Chebyshov, untuk k> 0 mana pun kita mempunyai:

Sekarang, dengan mengambil k = 0.1 dan δ = 0.01, kita mempunyai:

Dengan cara ini disimpulkan bahawa ukuran sampel sekurang-kurangnya 2,500 diperlukan untuk menjamin bahawa kebarangkalian peristiwa -Sn - 0,5 -> = 0,1 kurang dari 0,01.

Ketaksamaan jenis Chebyshov

Terdapat beberapa ketaksamaan yang berkaitan dengan ketidaksamaan Chebyshov. Salah satu yang paling terkenal adalah ketidaksamaan Markov:

Dalam ungkapan ini X adalah pemboleh ubah rawak bukan negatif dengan k, r> 0.

Ketidaksamaan Markov boleh mengambil pelbagai bentuk. Sebagai contoh, biarkan Y menjadi pemboleh ubah rawak bukan negatif (jadi P (Y> = 0) = 1) dan anggap E (Y) = μ wujud. Katakan juga bahawa (E (Y)) ^r = μ _r wujud untuk sebilangan integer r> 1. Jadi:

Ketidaksamaan lain adalah Gaussian, yang memberitahu kita bahawa diberi pemboleh ubah rawak unimodal dengan mod pada sifar, kemudian untuk k> 0,

Rujukan

1. Kai Lai Chung. Teori Kebolehlaksanaan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen. Matematik diskrit dan aplikasinya SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Menyelesaikan Masalah Matematik Diskrit. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Kebarangkalian. McGRAW-HILL.